С точки зрения наблюдателя в поезде фотон отражается от движущегося зеркала. Это отражение увеличит энергию/импульс фотона (очевидно, оно не может увеличить скорость). В системе отсчета поезда зеркало движется к наблюдателю со скоростью$v$: если исходящий фотон имеет импульс$p$, возвращающийся будет иметь импульс

$$p' = p\frac{c+v}{c-v}$$

Это получено, например, в «Отражение от движущегося зеркала - простой вывод с использованием фотонной модели света», Gjurchinovski, European Journal of Physics, 34: 1 (2012).

Флорис прав, он меняется точно так, как он ссылается на бумагу. Тем не менее, чтобы понять это, не нужно смотреть на какую-либо статью — это относительно простая физическая проблема, если мыслить релятивистски. Я вывожу это ниже. И не нужно задействовать импульс (хотя это эквивалентно), а можно все сделать из того, как меняется частота из одной инерциальной системы отсчета в другую (т.е. специальная теория относительности, а также верно в локальных инерциальных системах отсчета в гравитации)

Идея состоит в том, чтобы рассматривать проблему как два шага и, следовательно, два перехода от одной системы отсчета к другой. Сделаем два преобразования. Важно делать по одному, иначе вы запутаетесь.

Мы делаем их шаг за шагом, чтобы было ясно, что НИКАКОЙ МАГИИ НЕТ. Просто прямые преобразования SR.

ПЕРВАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ

Каркас 1: шпангоут поезда (ТРФ). Он движется относительно зеркала, но в этой системе мы рассматриваем поезд в состоянии покоя, т.е. мы стоим в поезде.

излучаемая частота = f

Рама 2: рамка зеркала (MRF). В этой системе координат мы рассматриваем его в состоянии покоя.

Поскольку источник излучаемого света движется, будет доплеровский сдвиг, определяемый выражением

$f_2$= частота в MRF = (1+$\beta$)$\gamma$ж == (1+z)f

где z — синее смещение, т. е.$\Delta$f/f = (частота в MRF - f)/f,

и$beta$= v/c

и фактор Лоренца$gamma$= 1/$sqrt{(1-\beta^2)}$

так как оба обычно помечены.

Уравнение для доплеровского сдвига является точным в СТО для движения вдоль луча зрения. См. https://en.wikipedia.org/wiki/Redshift , где уравнения

1+г = (1+$\beta$)$\gamma$

и где я взял$\beta$> 0 для синего смещения, которое мы бы увидели. (примечание: будьте осторожны, Вики считает наоборот, вы можете сделать это в любом случае).

УПРОЩЕНИЕ

Обратите внимание, что 1+z = (1+$\beta$)$\gamma$

можно упростить чтение

1+г =$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

Так

$f_2$= f (1+z) (уравнение 1)

или

$f_2$= ф$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$(Уравнение 2)

Итак, это простое уравнение. Мы будем повторно использовать уравнения. 1 и 2 в следующих шагах

ВТОРОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ

Кадр 2: зеркало в покое, отражающее свет, т. е. излучающее свет.

Частота отраженного света в кадре 2 = частота падающего света в кадре 2 = частота в MRF =$f_2$

Кадр 3: Кадр поезда, когда мы снова получаем свет. В этом кадре поезд (или мы, если хотите) видит источник света, кадр 2, приближающимся со скоростью v

Таким образом, в Кадре 3 мы видим частоту$f_3$далее синий сместился.

Мы можем применить тот же коэффициент 1+z, что и в уравнении. 1 в уравнении 2 выше, чтобы получить

$f_3$"="$f_2$ $sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

и заменив$f_2$получаем (с умножением двух одинаковых квадратных корней) полученную частоту в поезде (RFT)

$f_3$= ф$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Уравнение 3)

То есть полученная частота в поезде,$f_{RFT}$является

$f_{RFT}$= ф$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Уравнение 4)

Поскольку импульс пропорционален энергии и частоте в СТО, это то же уравнение, что и в статье, на которую ссылается Флорис.

За исключением того, что мы получили его, выполнив два последовательных преобразования Лоренца, где мы дважды использовали уравнение для доплеровского сдвига при переходе от одного кадра к другому.

Обратите внимание, что это правильный способ сделать это. Зеркало отражало свет, и мы обрабатывали его в его раме. Нет необходимости в других предположениях. Поезд получил отраженный свет, и он не знал, что это был свет, который он излучал, он просто видел свет, исходящий от зеркала. Так что просто нужно было сделать преобразование, чтобы получить правильную частоту [на самом деле, очевидно, что поезд (или мы в поезде) могут измерить частоту, нам не нужно будет ее вычислять, а затем использовать уравнение. 4, чтобы рассчитать нашу скорость относительно зеркала].

СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Обратите внимание, в статье применяется закон сохранения энергии и импульса в зеркале. Там же говорится, что можно получить их несколько более сложные результаты (они делают это для отражения под углом, мы тоже могли бы, не нужные для рассматриваемого вопроса), просто используя СТО. Так и должно быть, и для простого случая, рассматриваемого в вопросе, это очень просто. Обратите также внимание, что нам не нужно доказывать сохранение энергии, мы знаем, что SR сохраняет энергию, если вычислено правильно. Эйнштейн и другие доказали это. Да, дополнительная энергия фотона должна исходить от зеркала, это также то, что изменило его импульс, изменив направление. Это единственное физическое взаимодействие.

Баланс энергии при упругом рассеянии с участием фотонов

Комптоновское рассеяние

Сначала рассмотрим систему отсчета$\mathcal{B}$в котором держится платформа .

Фотон с частотой$f^\mathcal{B}$и импульс$p^\mathcal{B} = \frac{h}{c}f^\mathcal{B}$ударит по зеркалу, закрепленному на каком-то покоящемся объекте$\mathrm{M}$массы$m$. (Вы можете представить$\mathrm M$быть Землей.) Отражение передаст импульс$S\approx 2p^\mathcal{B}$к$\mathrm{M}$. После столкновения объект$\mathrm{M}$будет иметь скорость

$$\Delta v \approx \frac{S}{m} \approx \frac{2h}{mc}f^\mathcal{B}$$ и будет иметь некоторую кинетическую энергию. Чтобы учесть эту энергию, отраженный фотон будет иметь уменьшенную частоту. $f'{}^\mathcal{B}$. Это явление называется эффектом Комптона и очень мало для макроскопического объекта. $\mathrm{M}$, но очень хорошо наблюдаемый, если $m$примерно равна массе электрона.

Вас интересует не передача энергии.

$$\Delta E \approx \frac{m}{2}(\Delta v)^2 \approx \frac{2h^2}{mc^2}f^\mathcal{B} \approx \frac{10^{-83}}{m}f^\mathcal{B}$$ что очень мало - даже по сравнению с энергией обычного фотона ( $\sim 10^{-19}\mathrm J$). Таким образом, в системе отсчета $\mathcal{B}$передачи энергии практически нет и можно предположить $$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$$

Обратное комптоновское рассеяние

В системе отсчета$\mathcal{A}$поезд стоит . Обратите внимание, что кинетическая энергия не зависит от выбора системы отсчета . В$\mathcal{B}$объект$\mathrm{M}$находится в состоянии покоя и не имеет кинетической энергии. В$\mathcal{A}$,$\mathrm{M}$движется со скоростью$v$к наблюдателю, поэтому он обладает некоторой кинетической энергией$E_\text{kin}^\mathcal{B}\approx \frac{m}{2}v^2$.

Поскольку кинетическая энергия не является линейной функцией$v$, а приблизительно квадратичная функция, изменение энергии за счет наддува$\Delta v$зависит от энергии, которую объект$\mathrm{M}$имеет на первом месте. (Обратите внимание, что$\Delta v$находится в противоположном направлении$v$. Обратите внимание, что$\Delta v$примерно одинакова в обеих системах отсчета.)

$$\Delta E_\text{kin}\approx \frac{m}{2}(v-\Delta v)^2-\frac{m}{2}v^2=\frac{m}{2}(-2v\Delta v + (\Delta v)^2)\approx -mv\Delta v\approx \frac{v}{c}2hf^\mathcal{B}$$

Теперь я все еще предполагаю, что$\frac{m}{2}(\Delta v)^2$это очень маленькое и незначительное изменение кинетической энергии, как я сделал выше. Однако,$mv\Delta v$нельзя пренебрегать, если$v$близка к порядку скорости света, как предполагает ваша проблема. В результате кинетическая энергия$\mathrm{M}$уменьшается . _ Этот эффект называется обратным эффектом Комптона .

Поскольку поезда не движутся, скажем, с десятой долей скорости света, обратный эффект Комптона не наблюдается в поездах, но он наблюдается у быстро движущихся частиц в ускорителях частиц.

В вашем примере объект$\mathrm{M}$потеряет часть кинетической энергии, а фотон получит энергию в системе отсчета$\mathcal{A}$

Релятивистский доплеровский сдвиг

Частота света в системе отсчета$\mathcal{A}$и$\mathcal{B}$связаны следующими формулами:

Для фотона, движущегося от поезда к зеркалу

$$f^\mathcal B = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f^\mathcal A$$ и для фотона, движущегося от зеркала к поезду $$f'{}^\mathcal A = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f'{}^\mathcal B$$

Объедините это с$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$и заключить

$$f'{}^\mathcal A \approx \frac{c + v}{c - v} f^\mathcal A \approx (1 + 2\frac{v}{c}) f^\mathcal A$$

Следовательно, изменение энергии фотона равно

$$\Delta E_\mathrm\gamma^\mathcal A = hf'{}^\mathcal A - hf^\mathcal A \approx h\cdot2\frac{v}{c}f^\mathcal A$$

Краткое содержание

В$\mathcal{A}$некоторая кинетическая энергия$\mathrm M$передается фотону. В$\mathcal B$изменения энергии незначительны, но если$m$очень мало происходит передача энергии от фотона к зеркалу.

Подобные передачи энергии происходят в поезде при излучении и поглощении света. В$\mathcal A$луч света будет передавать кинетическую энергию от$\mathrm M$к поезду. В$\mathcal B$луч света будет передавать кинетическую энергию от поезда к$\mathrm M$.

Я понял. Я думал поезд запускает фотон под прямым углом. Он запускает его вперед.

Простыми словами, вы рассматриваете фотон, который прыгает между двумя совершенными зеркалами, как в световых часах. Если зеркала жестко закреплены, собственная частота (скажем, цвет) фотона не меняется. Если зеркала не закреплены жестко, фотон передаст зеркалам некоторую энергию, и зеркала начнут двигаться (отдаляться) друг от друга.

Таким образом, фотон будет все больше и больше смещаться в красную сторону при каждом колебании, если зеркала будут удаляться, потому что зеркала получат часть его энергии.

Если зеркала приближаются друг к другу, пусть даже по инерции, они передают часть своей кинетической энергии фотону. Фотон немного замедлит их. Фотон наберет немного энергии и будет становиться все более и более голубоватым при каждом колебании.

Если кто-то «приблизит» зеркала руками, ему придется потрудиться.

Интересная деталь заключается в следующем: если поезд запускает фотон под прямым углом в свою систему отсчета, то у зеркала на платформе фотон смещается в синеву. Он будет смещен в красную сторону по возвращении обратно и появится на той же частоте. В этом случае считаем, что наблюдатель и зеркало движутся относительно друг друга на параллельных участках и между ними имеется зазор.

Где взаимность наблюдений?