Узлы стоячей волны давления на конце открытой стороны трубы

Из статьи Википедии о звуке :

В физике звук — это вибрация, которая распространяется как обычно слышимая механическая волна давления и смещения .

Чтобы полностью понять, как воздух вибрирует в открытой трубе, вы должны рассмотреть не только волну акустического давления,

(здесь$c$есть скорость звука), но и изменение потока воздуха, то есть волна смещения частиц :

Мы считаем, что воздух в трубке имеет положение покоя, а волновое движение выражается через смещение от этого положения. Если мы обозначим через$ξ(x,t)$смещение воздуха в положении x в момент времени t, тогда волновое уравнение для смещения (я добавил вывод в конце этого ответа):

Как вы указали, давление на открытом конце должно быть равно давлению окружающего воздуха снаружи трубы: это всего лишь граничное условие (я вернусь к этому позже, но простой способ понять это: если мы не удовлетворяла бы непрерывность давления, у нас был бы бесконечный градиент давления и, следовательно, бесконечная сила). Однако для открытого конца воздух может свободно входить и выходить, то есть волна смещения выходит и распространяется. На этой диаграмме показано, что происходит в открытой (слева) и закрытой трубе (справа) одинаковой длины:

Красная линия — это амплитуда изменения давления, а синяя линия — амплитуда изменения потока воздуха. Как видите, амплитуда волны смещения максимальна на открытом конце.

Теперь, чтобы ответить на ваши вопросы, "почему давление на открытом конце не может отличаться от атмосферного давления?" и "как происходит отражение волны на открытом конце?", я приведу отрывок из этого замечательного объяснения , которое я нашел (вы должны взглянуть на анимацию, если это недостаточно ясно, или, как вариант, на это видео ): Давайте пошлем импульс воздуха по цилиндрической трубе, открытой на конце. Затем...

Он достигает конца трубы и своим импульсом выносит его на открытый воздух, где он распространяется во всех направлениях. Теперь, поскольку он распространяется во всех направлениях, его давление очень быстро падает почти до атмосферного давления (внешний воздух находится при атмосферном давлении). Однако у него все еще есть импульс, чтобы уйти от конца трубы. Следовательно, он создает небольшой подсос: воздух, следующий за ним по трубе, высасывается (немного подобно тому, как воздух всасывается за движущимся грузовиком).

Теперь всасывание на конце трубки всасывает воздух дальше вверх по трубе, а тот, в свою очередь, втягивает воздух дальше вверх по трубе и так далее. В результате импульс воздуха высокого давления, проходящего вниз по трубе, отражается как импульс воздуха низкого давления, проходящего вверх по трубе. Мы говорим, что волна давления отразилась открытым концом с изменением фазы на 180°.

Для более формальной обработки отражений на открытом конце см . Дайте мне знать, если я могу сделать себя более ясным по любому вопросу.

Приложение : Вывод двух волновых уравнений.

Акустическое давление – это локальное отклонение давления от окружающего, то есть:

куда$p_a$давление окружающего воздуха, а$P(x,t)$это абсолютное давление. В этом случае закон Гука гласит, что

где постоянная$B$объемный модуль сжатия воздуха (т. е. сопротивление воздуха всестороннему сжатию). Второй закон Ньютона подразумевает, что

Объединяя эти уравнения, мы получаем

а также

куда$c = \sqrt{B/{\rho}}$(из уравнения Ньютона-Лапласа),$\rho$являющаяся плотностью воздуха. Источник этого вывода: Музыка Дэйва Бенсона : математическое предложение .

Позднее дополнение :

Как указал @knzhou в своем ответе, следует отметить, что для открытого конца$p = 0$на самом деле это только приближение, потому что объем воздуха сразу за пределами трубки не бесконечен. Однако вы можете получить более точное представление о реальной трубе, работая с эффективной длиной , которая немного длиннее геометрического конца. На этой диаграмме показана эффективная длина основной формы колебаний флейты:

Поправка на конец - это величина, на которую эффективная длина превышает фактическую длину, и в нормальных условиях она обычно составляет около трех пятых ширины трубы.

Кроме того, можно задаться вопросом, что на самом деле происходит на границе между трубой и открытым небом. Все, что я знаю, это то, что если внутри трубки есть плоская волна, а когда волна смещения выходит и распространяется наружу, она становится сферической, то между ними должен происходить какой-то сложный эффект (как было предположено @docscience). в комментариях). Возможно, более знающий человек объяснит нам это.

Вам интересно, почему на открытом конце трубы образуются узлы давления. Ответ: нет! Это просто достаточно хорошее приближение.

Физически рассмотрим молекулы воздуха в центре трубки. Поскольку они находятся далеко от краев, у них нет возможности точно «узнать», когда заканчивается трубка, поэтому звуковая волна должна немного «просачиваться». Расстояние этой утечки порядка радиуса трубы; после этого давление приблизительно равно атмосферному давлению.

На самом деле решение задачи требует решения полного трехмерного волнового уравнения со сложными граничными условиями. Несколько раз это можно сделать явно, в результате получается беспорядок из специальных функций. Однако в хорошем приближении полное трехмерное решение можно заменить одномерным решением с небольшим смещением узла за пределы трубки. Это называется « концевой коррекцией » и важно для изготовления музыкальных инструментов.

Как показывает ваша анимация, максимальное смещение происходит на открытом конце. Это противоречит вашему утверждению, что открытый конец является узлом. Я думаю, что открытый конец — это пучность, точно так же концы открытой-открытой трубки — это пучности.