В каких подполях и как далеко может распространяться наивный предел c→∞c→∞c\rightarrow\infty специальной теории относительности?

Даже если было выявлено много интересных сходств между классической и квантово-механической структурой, например, в отношении квантования деформации, в целом существуют некоторые математические проблемы. И в традиционной формулировке вы не хотите делать такие вещи, как ℏ → 0 для выражения п "=" − я ℏ ∂ ∂ Икс .

В специальной теории относительности есть много формул, в которых можно получить нерелятивистскую формулу, приняв наивный предел с → ∞ , например

п → "=" м в → 1 − | в | / с   →   м в → 1 − 0 "=" м в → .

Интересно, известно ли, что вы всегда можете это сделать. Существует ли формулировка специальной теории относительности (может быть, уже стандартная), где исходные допущения/аксиомы/представления объектов дискурса включают константу с , и поскольку вы берете их с собой, чтобы делать все стандартные выводы, вы всегда получаете результаты, которые сводятся к ньютоновской механике, если вы принимаете этот предел?

У вас есть пример, когда это не работает в обычной среде? Насколько я могу судить, вы всегда можете выбрать нерелятивистский предел, если это уместно. т.е. мы можем говорить о сложении скоростей на скоростях, намного меньших, чем c, и об этом можно говорить разумно, но нет никакого разумного способа говорить о фотоне нерелятивистски.
@DJBunk: я не знаю никаких контрпримеров, где есть релятивистская теория и классические соображения и происходит что-то плохое. Но я мог себе представить такие случаи. Например, когда с стоит в в с и вы не очень хотите убить скорость или если есть термин, умноженный на 1 с 2 в уравнениях Максвелла, и когда вы просто берете предел, член исчезает вместе с некоторой функцией, существование которой вам нужно, если вы моделируете ее нерелятивистски. Электрические силы используются в классических рассуждениях в конце концов. Может быть, они всегда будут спасены с 1 с "=" 1 и т. д.
@NickKidman: Подожди, а что не так с твоим последним примером? Исчезновение производных членов — это то же самое, что и бар до нуля. Я только что опубликовал это как ответ, но, похоже, вы это рассмотрели и отклонили.
@RonMaimon: Да, я думаю, я «отклонил» это, сказав, что если у вас есть производная по времени от термина электронного поля, то вы не в электростатике (ваше уравнение Лапласа), а в теории с распространяющимися волнами, и это не модель классической нерелятивистской физики. Я в основном принял это как явление, которого нет даже в ньютоновской физике, и поэтому его не нужно принимать во внимание. ℏ Проблема более серьезна в том смысле, что, хотя вам не нужны волны, вам нужен импульс во всех классических моделях.

Ответы (3)

Проблема возникает, когда кто-то наивно принимает предел выражения за константу , например с или ℏ , переходит к значению (или бесконечности). Физически эти пределы означают, что безразмерное отношение между характерной величиной и этой константой стремится к определенному значению (или бесконечности).

Специальная теория относительности

Так называемый нерелятивистский предел (название ужасное, потому что физика Галилея столь же релятивистская, как и специальная теория относительности) специальной теории относительности состоит в том, что в качестве предела принимается отношение в / с или п / ( м с ) стремится к нулю, с с зафиксированный. Как с только через эти соотношения появляется очень часто, формально он эквивалентен пределу с уходя в бесконечность (в тех случаях, когда с появляется только через эти частные). Однако бывают случаи, связанные, например, с теорией поля, когда нужно немного поработать над выражением, чтобы найти эти отношения. (Кстати, кинематика Кэрролла тоже характеризуется пределом в / с → 0 , но в этом случае с сама дополнительно стремится к нулю (так как в ), что-то с небольшим физическим смыслом, насколько мне известно).

Квантовая механика

Классический предел часто сложнее, потому что сложнее отождествить характерные величины с размерностями ℏ . В некоторых случаях, однако, довольно ясно. Например, в формулировке интеграла по путям квантовой механики безразмерный показатель степени С / ℏ определить классический предел. Когда это частное стремится к бесконечности (или формально когда ℏ стремится к нулю) все вклады пути компенсируют друг друга, кроме того, который минимизирует С , классический путь. Нечто подобное происходит при квантовании по Зоммерфельду для больших квантовых чисел. Хотя проблема та же, что и в специальной теории относительности, выражений, содержащих простые безразмерные отношения, меньше, и это делает классический предел более трудным, чем нерелятивистский предел. И действительно, в десятках хороших книг и статей можно прочесть неправильные вещи вроде отождествления классического предела с вкладом древесного уровня (нулевого порядка в теории возмущений), что не во всех случаях верно (хотя и верно в большинство случаев).

формально это эквивалентно пределу c, уходящему в бесконечность. Если это формально эквивалентно, какой смысл беспокоиться о том, каким образом мы это сделаем?
Нужно быть осторожным, когда с не появляется непосредственно через эти безразмерные отношения. Например, в формуле Лармора или в массивном уравнении Клейна-Гордона. @БенКроуэлл
Можете ли вы привести пример того, как ваши рассуждения применимы к формуле Лармора? Извините, но я все еще не понимаю вашу точку зрения.
Формула Лармора уже нерелятивистская. Точно так же, если принять наивный предел с → ∞ в массивном уравнении Клейна-Гордона вы не получите Шр. уравнение. Это помогает?
Интересные моменты - может быть, вы могли бы интегрировать их в свой ответ? Я все еще не понимаю вашей логики во всем.
@BenCrowell Логика следующая: ОП правильно говорит, что вы не получаете классический лимит ℏ приближается к нулю п "=" − я ℏ ∂ Икс в то время как в специальной теории относительности нерелятивистский предел (часто) получается, принимая с уходя в бесконечность. Я хочу сказать, что это связано с тем, что вышеупомянутые безразмерные отношения более распространены в теории относительности, чем в квантовой механике. Интеграл по путям в квантовой механике (безразмерное отношение) и массивные уравнения Клейна-Гордона (отсутствие безразмерного отношения) являются «исключениями» (их много). Вот и все.

Предположим, у меня есть скалярное поле. Уравнение эволюции поля имеет вид

1 с 2 ∂ т 2 ф − ∇ 2 ф "=" 0

Итак, проблема с ограничением с → ∞ точно так же, как взять ℏ к нулю в квантовой механике уходит член производной.

Причина, по которой вы думаете ℏ → 0 как-то сложнее из-за абстрактности квантового формализма. Если вы перепишете п "=" ℏ ∂ ∂ Икс как п "=" час λ (что то же самое для плоских волн), малая ℏ предел становится более очевидным — длина волны стремится к нулю при фиксированном p, так что дифракционные эффекты исчезают.

Я думаю, что это на самом деле пример, когда с → ∞ дает правильный ответ. Приведенное волновое уравнение относится к безмассовому скалярному полю (а не просто к любому скалярному полю). В нерелятивистском пределе мы не ожидаем увидеть волновые возмущения безмассовых полей, поэтому должны существовать только статические поля. Это было специально разработано для электромагнетизма в статье Ле Беллака, на которую я ссылаюсь в своем ответе.
@BenCrowell: я согласен, я использовал его, чтобы доказать, что hbar до нуля также не проблематичен.
Хорошо, это нормально. Я не могу удалить свой отрицательный голос, если вы не отредактируете свой ответ. Если вы хотите внести изменения, чтобы уточнить, какова ваша интерпретация, это сработает.

Хороший вопрос!

Существует странный предел, называемый кинематикой Кэрролла, введенный Леви-Леблоном в 1965 году. Baccetti 2011 — свободно доступная статья, в которой он описан.

Существуют два различных галилеевых предела электромагнетизма (Le Bellac 1973). Описание см. в de Montigny 2005.

Итак, поскольку предел Галилея часто не уникален, должно быть совершенно ясно, что мы не можем получить его во всех случаях, просто взяв с → ∞ .

Другой способ увидеть, что этот подход сталкивается с проблемами, состоит в том, что в с → ∞ пределе, метрика становится вырожденной. Все стандартные механизмы теории относительности, например способность повышать и понижать индексы, основаны на допущении, что метрика не вырождена.

Бачетти, Тейт и Виссер, 2011 г., «Инерциальные системы отсчета без принципа относительности», http://arxiv.org/abs/1112.1466.

Ле Беллак М. и Леви-Леблон Дж. М. 1973, «Галилеев электромагнетизм», Nuov. Сим. Б 14 217-233

Леви-Леблон, «Une nouvelle limite non-relativiste du group de Poincaré», Ann. Инст. Анри Пуанкаре 3 (1965)

Марк Де Монтиньи, Жермен Руссо, 2005 г., «Об электродинамике движущихся тел с малыми скоростями», http://arxiv.org/abs/physics/0512200 .

В каких подполях и как далеко может распространяться наивный предел c→∞c→∞c\rightarrow\infty специальной теории относительности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v