В какой степени сверхпроводящий параметр порядка можно рассматривать как макроскопическую волновую функцию?

Чтобы ответить на ваш вопрос, нужно немного понять, что такое формализм Гинзбурга-Ландау (ГЛ). Сначала вспомним функционал GL:

$$F=\int dV\left[g\left|\left(\nabla-\dfrac{2\mathbf{i}e}{\hbar}A\right)\Psi\right|^{2}+a\left(T-T_{c}\right)\left|\Psi\right|^{2}+b\left|\Psi\right|^{4}+\dfrac{\left(\nabla\times A\right)^{2}}{2\mu}\right]$$

с$\Psi$(сложный) параметр порядка,$a$,$b$и$g$некоторые параметры,$\mu$магнитная проницаемость соединений,$V$его объем и$T$температура. Следующий,$T_{c}$- критическая температура, ниже которой коэффициент$a\left(T-T_{c}\right)$отрицательно, что приводит к конечному равновесию

$$\dfrac{\delta F}{\delta\Psi^{\ast}}=0\Rightarrow\left|\Psi\right|^{2}=\dfrac{-2b}{a\left(T-T_{c}\right)}$$

параметр порядка, тогда как$\Psi=0$для$T>T_{c}$. Итак, краткий ответ на ваш вопрос: всякий раз, когда функционал GL является хорошим приближением для сверхпроводника, будет ли описание этого сверхпроводника следовать формализму GL. Более того, GL-функционал является правильным описанием сверхпроводника в так называемом GL-режиме! Звучит как тавтология, но подумайте об этом еще раз. Где коэффициенты$a\left(T-T_{c}\right)$и$b$приходящий из ? Почему нет членов более высокого порядка, таких как$c\left|\Psi\right|^{6}$в расширении? Что$g$и почему вектор-потенциал$A$в термине градиента, как для заряженных частиц? и так далее ...

Теперь позвольте мне перефразировать ваш вопрос так: что такое$\Psi$? Он называется параметром-порядком, потому что соответствует минимизации функционала GL... звучит странно для вас? Тем не менее, это определение параметра порядка в так называемой парадигме Ландау конденсированного состояния: параметр порядка — это наблюдаемая величина, равная нулю выше некоторой критической температуры (скажем,$T_{c}$) и ненулевой ниже этой критической температуры (температура может быть заменена любой термодинамикой, которую вы хотите: объем, давление, энтропия, ...). Я только что показал, что$\Psi$следует этому правилу, поэтому это параметр порядка.

Следующий вопрос: есть$\Psi$волновая функция? Конечно нет! Волновая функция$\Phi$конденсата подтверждает вековое уравнение$H\Phi=E\Phi$. Бардин, Купер и Шриффер (БКШ) сумели дать вариационную волновую функцию основного состояния гамильтониана Фрёлиха/БКШ (да, мир полон тавтологий, ясно, что БКШ не называл свой гамильтониан «БКШ» ...) как

$$\Phi=\prod_{k}\left[u_{k}+v_{k}^{\ast}c_{k}^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}\right]\Phi_{0}$$

что кажется трудным для доказательства с использованием формализма GL. На самом деле вы не можете сделать это таким образом.

Что вы можете сделать, так это следовать

Л. П. Горьков, Микроскопический вывод уравнений Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводимости , Докл. физ. ЖЭТФ 9 , 1364-1367 (1959). Подробности расчета перепечатаны в книге Абрикосова А.А., Горькова Л.П. и Дзялошинского И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике , Изд-во Prentice Hall (1963).

который вкратце сделал следующее:

• найти спектр гамильтониана Фрелиха/БКШ в приближении среднего поля (для этого Горьков ввел знаменитые аномальные функции Грина)

• рассматривать сверхпроводящую щель самосогласованно. Сверхпроводящая щель определяется как

$$\Psi\propto\left\langle c_{k}^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}\right\rangle$$

(сравните с приведенным выше анзацем БКШ для волновой функции, обратите внимание, что среднее$\left\langle \cdots\right\rangle \sim\left\langle \Phi\right|\cdots\left|\Phi\right\rangle$является средним по нетривиальному (парному Куперу) вакууму, который должен выглядеть как$\Phi$).

• расширить это соотношение для параметра малого зазора

В конце этого кропотливого расчета вы получите именно функционал GL, и вы знаете микроскопическое происхождение коэффициентов.

Итак, теперь мы можем ответить на тавтологический вопрос: что такое GL-режим, в котором GL-функционал описывает сверхпроводник? Ну из горьковского расчета видно, что нужно$\Psi$быть маленьким. Из общей кривой$\Psi\left(T\right)$, ты видишь это$\Psi$мало, когда температура$T$близок к критическому$T_{c}$. Фактически фазовый переход второго рода имеет линейный наклон$\Psi\left(T\right)$для$T\approx T_{c}$, что примерно дает справедливость функционала GL.

Замечание 1) Нужен ли вам аргумент Горькова, чтобы сказать, где функционал GL верен? Конечно, нет. Даже GL-функционал появился на 10 лет раньше расчетов Горькова. Все, что вам нужно, это немного интуиции (параметр порядка мал и поэтому может быть разложен в ряд, потому что это фазовый переход второго рода, нечетные степени не могут присутствовать по причине симметрии, поскольку соединения обладают инверсионной симметрией, т.е. фаза должна быть пространственно однородной: штраф$g$должен присутствовать в функционале...) и в итоге у вас получится GL-функционал.

Замечание 2) Ясно, что линеаризованный вариант (когда$b\rightarrow 0$) функционала GL приводит к уравнению Шредингера, поэтому люди называют$\Psi$волновая функция в этом смысле. Тем не менее, следует предпочесть называть$\Psi$комплексный параметр порядка для заряженного бозонного поля.

Замечание 3) Функционал GL иногда называют абелевой моделью Хиггса, так как он демонстрирует фазовую фиксацию из-за штрафа$g$(называемой жесткостью конденсата) при расширении. Это полностью связано с потенциальным вектором$A$в функционале GL, что само по себе связано с тем, что$\Psi$представляет параметр порядка заряженных бозонов. Поскольку эта модель демонстрирует всю электродинамику сверхпроводящей фазы (очевидно, что в приведенном вами функционале ГЛ нет спиновой динамики, поэтому вам придется адаптировать его, если вы хотите описать также и спиновую динамику), то ГЛ функционал описывается как модель для обсуждения сверхпроводимости, не вводя ее как обобщение модели Ландау для фазового перехода и параметра порядка, адаптированное здесь к случаю заряженного квантового поля. Я предполагаю, что происхождение этого вопроса кроется в отсутствии знаний о модели Ландау фазового перехода второго рода. Кроме того, введение функционала GL без микроскопического обсуждения часто делается в высокоэнергетических учебниках, которые хотят сосредоточиться на механизме Хиггса.

Замечание 4) Можно ли применить функционал ГЛ для описания сверхпроводников при низких температурах? В принципе нет , но есть некоторые аргументы, показывающие, что абелеву модель Хиггса можно обобщить на низкие температуры, см., например , Грейтер: Нарушается ли спонтанно электромагнитная калибровочная инвариантность в сверхпроводниках?

После написания этого длинного ответа я понял, что не ответил на ваш последний вопрос: почему функционал GL так хорошо описывает электродинамику сверхпроводников? Причина в том, что механизм Хиггса — это уникальная модификация, которую вам нужно сделать, чтобы перейти от электромагнетизма обычного металла к электромагнетизму сверхпроводника. Более эвристически, поскольку пары Купера движутся без сопротивления, ясно, что они будут устанавливать закон в неупорядоченных системах. Таким образом, вам нужно только зафиксировать их фундаментальное свойство, которым является чистый диамагнетизм, см., например , этот вопрос в другом месте на этом веб-сайте (обратите внимание, что эффект Мейснера можно заменить идеальным диамагнетизмом во всех ответах на этот вопрос).