«Векторы», т.е. (1,0)-тензоры, их определение и мотивация относительности

Давайте делать это систематически: (Я должен признать, что часть вашего вопроса с «докажите, что$p'$не является вектором, если$p$is» на самом деле не имеет для меня смысла, поэтому я решил показать вам, как на самом деле определяются векторы в GR и как на самом деле работают преобразования. Не стесняйтесь сказать мне, чтобы я не занимался своими делами, если это не то, что вы ищете ;) )

Позволять$\mathcal{M}$быть нашим пространственно-временным многообразием (подумайте$\mathbb{R}^4$). Позволять$p \in \mathcal{M}$быть точкой и$x,y : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^4$быть координаты на$\mathcal{M}$, т.е. 4-кортеж$(x^0(p),x^1(p),x^2(p),x^3(p))$и$(y^0(p),y^1(p),y^2(p),y^3(p))$представляют одну и ту же точку. В точку$p$, мы определяем касательное векторное пространство $T_p\mathcal{M}$натянуто частными производными по координатам, т.е. имеем пространство линейных комбинаций

$$T_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 c^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} | c^\mu \in \mathbb{R}\right\}$$

и коэффициенты$c^\mu$это то, что мы обычно называем нашими векторными компонентами. Если мы скажем, что какой-то кортеж$(v^0,v^1,v^2,v^3)$является вектором, мы по определению имеем в виду , что он представляет собой вектор$\sum_\mu v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$в какой-то (часто неявно) понятный момент.

Преобразование координат теперь задается выражением$y \circ x^{-1}$, часто обозначаемый$y(x)$злоупотреблением обозначениями. Теперь наши векторы должны быть выражены в производных по новым координатам$y^\mu$. По цепному правилу,$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial}{\partial y^\nu}$, поэтому преобразованные коэффициенты равны

$$c'^\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu} c^\nu$$

Это закон преобразования векторов . Если ваше преобразование координат представляет собой просто постоянную матрицу, такую ​​как вращение или преобразование Лоренца,$\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}$являются лишь его матричными компонентами. Поскольку наши векторы в точке по определению живут в касательном пространстве, они по определению преобразуются вот так.

Скаляром называется любая величина, которая никак не преобразуется при преобразовании координат или, что то же самое, на которой любое преобразование принимает вид тождества. Очевидно, что векторы не являются скалярами. «Пространство скаляров» в точке равно$\mathbb{R}$(или$\mathbb{C}$, в зависимости от ваших предпочтений), т.е. числа, которые не меняются при преобразованиях координат.

Теперь, как мы строим скаляры из векторов? Мы определяем двойственное векторное пространство или кокасательное пространство как натянутое на дифференциалы$\mathrm{d}x$, т.е.

$$T^*_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 \omega_\mu \mathrm{d}x^\mu\right\}$$

и, опять же по цепному правилу, теперь они преобразуются точно обратно к векторам, т.е.

$$\omega'_\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\omega_\nu$$

Теперь в ОТО есть метрика пространства-времени, задаваемая коэффициентами$g_{\mu\nu}$. Учитывая вектор $c^\mu$, мы определяем его двойственный вектор как$c_\mu := \sum_\nu g_{\mu\nu}c^\nu$. Теперь, учитывая любой кортеж в качестве вектора$c^\mu$, мы можем составить скалярное произведение

$$(c,c) = \sum_\mu c^\mu c_\mu$$

Для любого данного преобразования координат вы можете легко проверить, что производные, полученные от преобразований вектора и ковектора, сокращаются, и что эта вещь действительно инвариантна относительно преобразований координат и, следовательно, является скаляром.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Чтобы рассмотреть теперь общий класс примеров, на которые вас, кажется, просят взглянуть, обратите внимание, что для векторов$p^\mu$,$q^\nu$в указанном выше смысле кортежи типа$(p^0 q^0, p^1,p^2,p^3)$не могут быть векторами, так как первые компоненты преобразуются дважды по отношению к преобразованию координат, в то время как другие преобразуются только один раз, но закон векторов говорит, что все компоненты преобразуются одинаково и точно так, как указано выше.

Я просто хотел прокомментировать, к чему, по моему мнению, приводит вопрос из книги Зи. Я не думаю, что этот вопрос от Zee является особенно хорошим вопросом, и я думаю, что ответ ACuriousMind превосходен и затрагивает реальные моменты, которые вы должны попытаться изучить. Так что это написано исключительно ради того, чтобы попытаться прояснить книгу Зи, а не попытаться дать конкурирующий ответ на этот вопрос.

Допустим, у нас есть вектор$\vec{p}$которое выражается в некотором базисе (назовем его «нештрихованным базисом») как$\vec{p}=p_1 \hat{e}_1 + p_2 \hat{e}_2$. Мы можем выразить$\vec{p}$в новом базисе, образованном поворотом на угол$\theta$(это «пассивный» взгляд на вращения)

$$\begin{equation} \vec{p} = p_1'\hat{e}_1' + p_2' \hat{e}_2' = \left(p_1\cos\theta+ p_2 \sin \theta \right)\hat{e}_1' + \left(-p_1 \sin \theta + p_2 \cos \theta \right) \hat{e}_2' \end{equation}$$ Все идет нормально.

Теперь давайте определим объект$\vec{q}$, который имеет следующие компоненты в непростом базисе:

$$\begin{equation} \vec{q}=q_1 \hat{e}_1 + q_2 \hat{e}_2 = a p_1 \hat{e}_1 + b p_2 \hat{e}_2 \end{equation}$$

Теперь для того, чтобы$\vec{q}$чтобы быть вектором, он должен быть выражен в простом базисе, он имеет вид

$$\begin{equation} \vec{q} = \left(a p_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta\right)\hat{e}_1' + \left(- a p_1 \sin \theta + b p_2 \cos \theta \right)\hat{e}_2' \end{equation}$$

Пока нет проблем для любого значения$a$или$b$. В фиксированном базисе компоненты вектора могут иметь любое значение, которое они хотят, поэтому я мог бы просто назвать компоненты вектора$\vec{q}$в незагрунтованной основе$a p_1$и$b p_2$. Это просто странно выглядящая параметризация произвольного вектора в нештрихованном базисе. До тех пор, пока после поворота$\vec{q}$имеет вид выше, то все в порядке.

Я думаю, что суть, которую Зи пытается донести своим вопросом, можно сформулировать так:

$$\begin{equation} \vec{q} \neq a p_1' \hat{e}_1' + bp_2' \hat{e}_2' \end{equation}$$ пока не $a=b$.

Другими словами, хотя в исходном кадре верно, что$q_1 = a p_1$и$q_2= b p_2$, в повернутой системе отсчета заведомо неверно, что$q_1' = a p_1'$и$q_2' = b p_2'$.

Конечно, это совершенно очевидно, если вы просто вращаете$\vec{q}$, то вы ясно видите, что$q_1' = ap_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta \neq a (p_1 \cos \theta + p_2 \sin \theta) = a p_1'$.

Я думаю, что главная мысль, которую пытается донести Зи, заключается в том, что вы должны доверять только векторным отношениям, а не отношениям между компонентами:$q_1 = a p_1$это не «хорошие» отношения, потому что они истинны только в определенном фрейме.

Единственное исключение из этого, если$a=b$; другими словами, если окажется, что если все компоненты двух векторов пропорциональны в некоторой системе отсчета, то у вас действительно есть векторное утверждение$\vec{q}=a\vec{p}$что тогда будет верно в любом кадре. Этот факт часто используется в ОТО — чтобы показать, что два тензора равны, вам нужно только показать, что они равны в некоторой системе координат, поэтому вы часто выбираете самую простую возможную систему координат для оценки тензоров.

Однако, на мой взгляд, это плохой вопрос (или, по крайней мере, плохо сформулированный). В этом нет ничего плохого$\vec{q}$являющийся вектором для любых значений$a$и$b$, настоящая проблема в том, что$q_1=ap_1$не является ковариантным утверждением, и это было довольно неясно из исходного вопроса.