Определение тензора

Хорошо, я вижу проблему. Вопреки моему второму комментарию, можно сформулировать полные тензорные пространства, не ссылаясь на двойственное пространство. Однако это подход старой школы. В конечном итоге он эквивалентен более современной формулировке, но последняя концептуально чище.

Я продемонстрирую современный подход, а затем покажу, насколько он эквивалентен подходу, изложенному в вашей книге.

---

Рассмотрим векторное пространство$V$над реальными числами. Если мы выберем основу$\{e_i\}$, мы можем разложить любой вектор$\bf{X}$как

$${\bf{X}}= X^i e_i\ \ , \ \ X^i\in\mathbb{R}$$

Двойное пространство $V^*$состоит из линейных карт из$V$к$\mathbb{R}$.$V^*$также является векторным пространством, поэтому мы можем выбрать базис$\epsilon^i$и разверните любой двойственный вектор (также известный как ковектор )$\omega$как

$${\boldsymbol{\omega}} = \omega_i \epsilon^i\ \ , \ \ \omega_i \in \mathbb{R}$$

Мы канонически выбираем дуальный базис так, что$\epsilon^i(e_j) = \delta^i_j$. Следовательно, действие двойственного вектора на вектор можно записать так:

$$\boldsymbol\omega(\boldsymbol X) = \omega_i \epsilon^i\big(X^j e_j\big) = \omega_iX^j\epsilon^i\big(e_j\big) = \omega_i X^j \delta^i_j = \omega_iX^i$$

где мы отмечаем, что мы можем тянуть компоненты$X^i$out, потому что ковекторы являются линейными отображениями.

---

А$(p,q)-$тензор — это полилинейная карта, которая ест$p$ковекторы и$q$векторов и выдает действительное число. Например,$(1,2)-$тензор${\bf{T}}$это карта

$${\bf{T}} : V^* \times V \times V \rightarrow \mathbb{R}$$

так что у нас есть

$${\bf{T}}(\boldsymbol\omega,\boldsymbol X,\boldsymbol Y)={\bf{T}}(\omega_i \epsilon^i,X^j e_j,Y^k e_k) = \omega_i X^j Y^k {\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k) \equiv \omega_i X^j Y^k T^i_{\ j\ k}$$

где

$${\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k)\equiv T^i_{\ \ j\ k}$$

являются компонентами${\bf{T}}$в выбранной основе.

---

Метрический тензор ${\bf{g}}$является симметричным, положительно определенным$(0,2)-$тензор. Выбор метрики индуцирует внутренний продукт между векторами:

$$X\cdot Y := {\bf{g}}(X,Y) = {\bf{g}}(X^i e_i,Y^j e_j) = X^i Y^j {\bf{g}}(e_i,e_j) = X^i Y^j g_{ij}$$

Положительная определенность${\bf{g}}$позволяет определить изоморфизм между$V$и$V^*$. Учитывая некоторый вектор$\boldsymbol X$, определим его двойственный ковектор$\boldsymbol{\tilde X}$кормлением$\boldsymbol X$к метрике и оставив второй слот открытым:

$$\boldsymbol{\tilde X} := \boldsymbol g(\boldsymbol X,\bullet)$$

так

$$\boldsymbol{\tilde X}(\boldsymbol Y) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)$$

Мы можем найти компоненты$\boldsymbol{\tilde X}$снабдив его базисным вектором$e_i$:

$$\tilde X_i = \boldsymbol{\tilde X}(e_i) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,e_i) = \boldsymbol g(X^j e_j,e_i) = g_{ji} X^j = g_{ij}X^j$$

(где мы использовали тот факт, что$\bf g$симметричен, поэтому$g_{ji}=g_{ij}$).

---

Я остановлюсь здесь, так как теперь мы готовы ответить на суть вашего вопроса. Каждый вектор$\bf X$имеет уникальный ковектор «партнер», который я обозначил$\boldsymbol{\tilde X}$. Однако,$\bf X$живет в векторном пространстве, пока$\boldsymbol{\tilde X}$живет в двойственном пространстве, поэтому они являются подчеркнуто разными объектами .

Точно так же, учитывая$(1,1)-$тензор$\bf T$, мы можем определить$(0,2)-$тензор$\bf Q$по следующему рецепту:

$$\boldsymbol Q(\boldsymbol X,\boldsymbol Y) := \boldsymbol T(\boldsymbol{\tilde X}, \boldsymbol Y)$$

откуда следует, что в компонентной форме

$$Q_{ij} = g_{ik} T^k_{\ \ j}$$

$V$и$V^*$изоморфны друг другу, и подход старой школы состоит в том, чтобы рассматривать этот изоморфизм как равенство. То есть мы определяем$\bf X$и$\boldsymbol{\tilde X}$как один и тот же объект и рассматривать его «векторное расширение» и «ковекторное расширение» как разные выражения одного и того же.

Аналогично рассмотрим определенные выше тензоры$\bf T$и$\bf Q$как один и тот же объект, который принимает разные формы в зависимости от того, (i) мы снабжаем его векторами, развернутыми по одному и тому же базису, или (ii) мы снабжаем его векторами, развернутыми по разным основаниям (!?).

---

Для меня это ужасно грязно и запутанно. Лечить гораздо приятнее$\bf X$и$\boldsymbol{\tilde X}$как партнеры , которые живут в разных пространствах. Если мы это сделаем, то тензоры$\bf T$и$\bf Q$становятся разными картами, которые, тем не менее, связаны друг с другом посредством изоморфизма между$V$и$V^*$.

С этой точки зрения «повышение и понижение индексов» является злоупотреблением обозначениями, а не высказыванием

$$X_i = g_{ij}X^j$$ мы действительно должны сказать, что $$\tilde X_i = g_{ij} X^j$$

и признать, что$\tilde X_i$'песок$X^j$являются компонентами различных объектов.

Этот подход уже чище, но становится еще чище, когда мы рассматриваем абстракции более высокого уровня, такие как касательные расслоения к многообразиям, дифференциальные формы, действия групп в системе координат, соединения и параллельный перенос и т. д.

Однако подход старой школы не является неправильным, и пока вы очень точно понимаете, что делаете, вы вольны делать все, что хотите.

Прежде всего небольшая поправка: тензор$T^i{}_{jk} = T(\textbf{e}^i, \textbf{e}_j. \textbf{e}_k)$вы упомянули, это многолинейная карта$T: V^* \times V^2 \to \mathbb{R}$не из$V^3$.

---

Теперь ответ. Учитывая векторное пространство$V$, (q, p)-тензор (q-контравариантный p-ковариантный тензор) есть, как вы сказали, отображение$T:(V^*)^q \times V^p \to \mathbb{R}$с компонентами в определенной основе:

$$T(\textbf{e}^{i_1},...,\textbf{e}^{i_q}, \textbf{e}_{j_1}, ...,\textbf{e}{}_{j_p})=T^{{i_1}...{i_q}}{}_{{j_1},...,{j_p}}$$ С $V^*$является двойственным пространством $V$.

Вы можете сложить q и p, просто сказав, что$T$это ($q+p$)-ранговый тензор, но только если у вас есть что-то, что естественным образом отображается$V$в его дуальное («естественно» означает «таким образом, который не зависит от вашей основы»). Обычно этот объект является метрикой (внутренним продуктом), и с его помощью вы можете повышать и понижать индексы; вот почему вы не должны ставить индекс над другим (см. Как я написал компоненты тензора).

Можно доказать (теорема Рисса-Фреше), что для вектора$x\in V$всегда есть одна (и только одна) форма$f_x \in V^*$который действует следующим образом:

$$f_x(y) = x \cdot y \quad \forall y \in V$$

где точка — внутренний продукт. Это устанавливает естественную идентификацию$x \leftrightarrow f_x$. Действительно, именно этот факт позволяет использовать знаменитую нотацию Дирака в квантовой механике.

Следовательно, если компоненты$x$на определенной основе$B$являются$x^i$, мы говорим, что компоненты$f_x$на двойном основании$B^*$являются$x_i$. Это разные объекты, но метрика их связывает.

Общий тензор$T$представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений векторов и форм. Итак, если у вас есть объект, который соединяет векторы и формы, вы можете использовать его в этих продуктах для создания другого тензора.$T'$("$T$" с одним индексом пониженным и другим повышенным). Однако мы используем те же обозначения для компонентов$T$и$T'$и не$T_{ijk}$и$T'{}^i{}_{jk}$, например. Мы опускаем штрих, потому что если мы вычислим компоненты$T'$мы всегда можем переключиться с этого описания на другое с помощью метрики:$T_{ijk} = g_{li} T'{}^l{}_{jk}$. Итак, давайте упростим запись и назовем$T'{}^l{}_{jk} \equiv T{}^l{}_{jk}$. На практике мы говорим, что$T$и$T'$не разные тензоры (на самом деле они есть!), а просто разные «версии» одной и той же «вещи».

Это именно то, что мы делаем, когда говорим «контравариантные» или «ковариантные» компоненты вектора. Строго говоря, только контравариантные являются компонентами вектора, остальные являются компонентами ассоциированной формы в двойственном пространстве. Но мы их идентифицируем.