Нахождение диффеоморфизма по заданным векторным полям [закрыто]

Учитывая векторное поле, как найти связанные с ним диффеоморфизмы? Скажем, мне дано векторное поле в пространстве Минковского.

ξ "=" Икс ∂ ∂ т + т ∂ ∂ Икс .

Как найти связанный диффеоморфизм, если он существует? Я знаю, что в этом примере усиление Лоренца в направлении x является диффеоморфизмом, но мне трудно понять, как прийти к этому ответу. Кроме того, как вы узнаете, когда они могут не иметь связанного диффеоморфизма? Я склонен полагать, что это векторное поле не может иметь диффеоморфизм, переводящий точки вперед.

ξ "=" е Икс ∂ ∂ Икс .

Ответы (1)

Что ж, на самом деле вы ищете однопараметрическую группу диффеоморфизмов (или изометрий, если речь идет о поле буст-векторов). Эта группа получается решением дифференциального уравнения

(1) д Икс д с "=" Икс ( Икс ( с ) )
с общим начальным условием г в с "=" 0 в коллекторе М (Пространство-время Минковского в вашем примере). Икс ваше векторное поле на М . Решения имеют вид
М × р ∋ ( г , с ) ↦ ф с ( г )
где г это начальное условие, то есть точка Икс ( 0 ) "=" ф 0 ( Икс ) "=" г и правильное решение (1) с этим начальным условием, г , является Икс с "=" ф с ( г ) . Оказывается, что
ф 0 "=" я д , ф с ∘ ф р "=" ф с + р , ф − с "=" ( ф с ) − 1 .
Каждый ф с : М → М является диффеоморфизмом. Однопараметрическая группа диффеоморфизмов, связанных с Икс является семейством диффеоморфизмов { ф т } т е р .

Вообще говоря, группа только локальна, т. е. не определена для всех значений с ( с -домен зависит от г ), но я не буду обсуждать этот момент в этом элементарном изложении.

В конкретном случае векторного поля наддува необходимо решить систему

г т г с "=" Икс ( с ) , г Икс г с "=" т ( с )
Таким образом, вы обнаружите, что ф с ( ( т , Икс ) ) "=" ( т ( с ) , Икс ( с ) ) с
т ( с ) "=" Икс грех ⁡ ( с ) + т чушь ⁡ ( с ) , Икс ( с ) "=" Икс чушь ⁡ ( с ) + т грех ⁡ ( с ) .
Что касается вашего последнего вопроса об экспоненциальном векторном поле, теперь вы можете решить его самостоятельно.

Спасибо за разъяснения, многие вещи помогли прояснить. Теперь я вижу, что для второго вопроса, Икс ( с ) "=" л о г ( 1 / ( с − е Икс п ( − Икс ) ) , и тогда оно будет расходиться для некоторого конечного с > 0 . Есть ли другой способ определить, когда векторные поля плохо себя ведут в этом смысле, без предварительного вычисления?
На самом деле я не знаю. Подозреваю, что такие методы должны существовать. Существуют методы проверки, является ли локальная группа глобальной, что означает, что каждое решение с каждым начальным условием является полным , т.е. параметр с колеблется по всей действительной оси. Так бывает, например, если М компактен (я предполагаю, что Икс по крайней мере непрерывен). Но я не знаю достаточных условий неполноты орбит. Я не эксперт в этой теме.
@NoviceC (и Вальтер) Я знаю некоторый частичный результат: векторные поля в р н с не более чем линейным ростом являются полными (т.е. их потоки определены на все времена). Здесь «в лучшем случае линейный рост» означает, что для | Икс | достаточно большой, | Икс ( Икс ) | ≤ С | Икс | для некоторой константы С . Как правило, вещи с большим (например, квадратичный рост) приведут к конечному «конечному времени», но у меня нет теоремы, подтверждающей это утверждение.
Нахождение диффеоморфизма по заданным векторным полям [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v