Конформные поля смерти на Шварцшильде

Я пытаюсь понять, что является конформными Полями Смерти в пространстве-времени Шварцшильда. Я говорю, что Икс является конформным полем Киллинга на С ( С является Шварцшильдом), если существует функция ф : С → р такой, что

л Икс г "=" ф г ,
где г - метрика Шварцшильда, а л является производной Ли.

Я знаю, что перевод времени, ∂ т , и вращения, Ом я Дж являются полями Киллинга, следовательно, конформными полями Киллинга, с ф постоянным и равным 0 .

Например, в пространстве-времени Минковского, параметризованном ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) , я знаю, что поле "расширения", т.е. поле

∑ я "=" 0 3 Икс λ ∂ Икс λ
является конформным полем Киллинга, с ф "=" 2 . Хотелось бы понять, есть ли аналог у Шварцшильда.

Ответы (1)

В геометрии Шварцшильда радиус Шварцшильда нарушает наивную дилатационную симметрию. В простом случае радиальной дилатации р → λ р , геометрия сохраняется только р С → λ р С . Итак, наивно кажется, что будет сложно найти рабочее расширение, даже просто радиальное расширение.

Я приложил некоторые усилия (в качестве упражнения для себя), чтобы найти работающее расширение, и потерпел неудачу. Я обнаружил, что векторное поле

Икс "=" т ∂ т + р 1 − р С р ∂ р

который приближается 0 как р → р С и р ∂ р как р → ∞ является почти конформным полем Киллинга. Однако производная Ли от метрики равна

л Икс г "=" 2 1 − р С р ( − 1 − р С р − р С 2 р ( 1 − р С р ) − 1 р 2 р 2 грех 2 ⁡ θ )

Итак, составляющая tt метрики все портит. Я трачу небольшое количество усилий, пытаясь изменить это векторное поле (добавляя ему времяподобный компонент, добавляя явную зависимость от времени и т. д.), но пока ничего не сработало.

Конформные поля смерти на Шварцшильде
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v