Компоненты двойственных векторов

(Это подробный пересказ Вальда, задача 2.4б. Не для домашнего задания, просто любопытство и все более тревожное подозрение, что я никогда ничего не понимал.)

Позволять$Y_1 ... Y_n$быть набором гладких векторных полей на$n$-мерное многообразие$M$такие, что в каждой точке они образуют касательное векторное пространство. Позволять$Y^{*1} ... Y^{*n}$— соответствующий двойственный базис. Покажите, что компоненты$(Y^{\gamma *})_\mu$из$Y^{\gamma *}$в любом базисе координат удовлетворяют

$$\frac{\partial (Y^{\gamma *})_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial (Y^{\gamma *})_\nu}{\partial x^\mu} = \sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}(Y^{\alpha *})_\mu (Y^{\beta *})_\nu$$

Подсказка заключается в том, что вы должны сжать обе стороны с помощью$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$. Кроме того, предположительно важным является то, что коммутатор$Y_\alpha$и$Y_\beta$может быть выражено$[Y_\alpha,Y_\beta] = \sum C^{\gamma}_{\;\alpha\beta} Y_\gamma$для некоторых$C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}$.

Теперь мой мозг сталкивается с ошибкой синтаксического анализа этой проблемы, особенно с левой стороны. Мысли и вопросы:

1. Вот как звучит для меня подсказка: вводим какие-то координаты с ассоциированным базисом координат$\{v_\mu\}$такой, что$Y_\gamma = \sum (Y_\gamma)^\mu v_\mu$с компонентами$(Y_\gamma)^\mu$в этой координатной основе. Тогда возьмем соответствующий двойственный базис$\{v^{\mu *}\}$и выразить каждое$Y^{\gamma *}$как$Y^{\gamma *} = \sum (Y^{\gamma *})_\mu v^{\mu *}$. И эти$(Y^{\gamma *})_\mu$компоненты - это то, что мы имеем в задаче. Но... что происходит сейчас? Я не понимаю, что значит заключать контракт с вышеупомянутым$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$когда этот компонент находится в частной производной, как в LHS. Поскольку это касательные пространства, следует ли брать саму производную за базисный вектор в координатном базисе?

2. При попытке заключить контракт с RHS я получаю следующее:

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}\sum_\mu (Y^{\alpha *})_\mu (Y_\sigma)^\mu \sum_\nu(Y^{\beta *})_\nu (Y_\rho)^\nu$$

Теперь для любого координатного базисного вектора$\{v_\nu\}$и двойственный вектор из соответствующего двойственного базиса$\{v^{\mu *}\}$, у нас есть$v^{\mu *} (v_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu}$, и поэтому

$$Y^{\mu *} (Y_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa v^{\kappa *} \sum_\eta (Y_{\nu})^\eta v_{\eta} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa (Y_{\nu})^\kappa$$

Таким образом, RHS просто сводится к

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta} \delta^{\alpha}_{\;\sigma} \delta^{\beta}_{\;\rho} = C^{\gamma}_{\;\;\sigma\rho}$$

Аналогично, отсюда мне непонятно, как действовать дальше. Бывший профессор физики посоветовал «расслабиться и позволить математике вести вас», но, похоже, это не работает.

Итак... Есть ли здесь что-то, что бросается в глаза как недостаток или пробел в моем понимании? Я предполагаю, что есть методический способ сделать это, но я не могу его понять. Не будет ли кто-нибудь так любезен, чтобы подсказать, как продолжать?