Векторное пространство C4C4\mathbb{C}^4 и его базис, матрицы Паули

Медленное строительство пойдет...

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$

---

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}1_2+\frac{1}{2}\sigma_3$$

$$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} =\ ...$$

---

$$\Longrightarrow \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \frac{a}{2}1_2+\frac{a}{2}\sigma_3+\ ...\ (\text{other combintations of the four matrices})$$

Мне нравится выражаться так:

$$\left(\begin{array}{cc} w+z&x-iy\\ x+iy&w-z\end{array}\right)$$

Так, например:

$$\left(\begin{array}{cc} 1&5\\1&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} (1.5)+(-0.5)&(3)-i(2i)\\ (3)+i(2i)&(1.5)-(-0.5)\end{array}\right)$$ Так $w=1.5, x=3, y=2i, z=-0.5$и $$\left(\begin{array}{cc} 1&5\\1&2\end{array}\right) = 1.5 + 3\sigma_x + 2i\sigma_y -0.5\sigma_z.$$

Вы можете решить для$w,x,y,z$из записей в массиве легко. то есть$x$является средним значением верхнего правого и нижнего левого элементов и т. д.

Матрицы$\sigma_0\equiv \boldsymbol{1}_2$,$\sigma_x$,$\sigma_y$и$\sigma_z$сформировать ортонормированную основу вашего векторного пространства относительно скалярного произведения

$$(X,Y) \equiv \frac{1}{2}\operatorname{tr}(X\cdot Y),$$ где $X$и $Y$обозначьте любые два комплекса $2\times 2$матрицы. Фактор $1/2$просто для удобства, вы также можете нормализовать свои матрицы Паули, разделив их на $2$.

Все, что вы хотите сделать сейчас, это разложить произвольный элемент

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ вашего векторного пространства в вышеуказанную основу и выяснить коэффициенты. Как обычно, это делается проецированием на этот базис с помощью скалярного произведения $$M = (\sigma_0,M)\cdot\sigma_0 + (\sigma_x,M)\cdot\sigma_x + (\sigma_y,M)\cdot\sigma_y + (\sigma_z,M)\cdot\sigma_z\ .$$

Об этом, по сути, сказано в комментариях выше, в частности, в ссылке, размещенной Костей.