Гамильтониан, действующий на суммирующий оператор

Я следую выводу в книге. Он реализует состояние | ψ ⟩ в уравнение на собственные значения ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩ . | ψ ⟩ термин содержит | ф ⟩ − Σ н | х н ⟩ . . . и когда расширяется, становится ЧАС ^ | ф ⟩ − Σ н Е н | х н ⟩ . . . .

Может ли кто-нибудь объяснить, почему гамильтониан становится Е н при действии внутри сигма-оператора?

Возможно, вы захотите немного подробнее остановиться на расширенной строке, но похоже, что это просто собственное значение n (го) состояния, то есть энергия n-го возбужденного состояния х (взгляните, например, на гармонический осциллятор). Это означало бы, что сигма-оператор и гамильтониан коммутируют. У вас есть форма оператора сигма?

Ответы (1)

Кажется, государство | ψ ⟩ является суперпозицией | ф ⟩ и несколько собственных состояний гамильтониана:

ЧАС ^ | х н ⟩ "=" Е н | х н ⟩

Тогда сигма просто обозначает сумму собственных состояний. А поскольку оператор Гамильтона линейный, его легко можно применить к каждому элементу суммы независимо.

ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" ЧАС ^ ( | ф ⟩ − Σ н | х н ⟩ ) "=" ЧАС ^ | ф ⟩ − ЧАС ^ ( | х 1 ⟩ + | х 2 ⟩ + … )
"=" ЧАС ^ | ф ⟩ − ( ЧАС ^ | х 1 ⟩ + ЧАС ^ | х 2 ⟩ + ⋯ ) "=" ЧАС ^ | ф ⟩ − ( Е 1 | х 1 ⟩ + Е 2 | х 2 ⟩ + ⋯ )
"=" ЧАС ^ | ф ⟩ − Σ н Е н | х н ⟩

Гамильтониан, действующий на суммирующий оператор
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v