Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Question

Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Праздник позвоночника

Гамильтониан

ЧАС "=" [\begin{array}{cccc} а & 0 & 0 & - б \\ 0 & 0 & - б & 0 \\ 0 & - б & 0 & 0 \\ - б & 0 & 0 & - а \end{array}]

$H = \left[ \begin{array}{cccc} a & 0 & 0 & -b \\ 0 & 0 & -b & 0\\ 0 & -b & 0 & 0\\ -b & 0 & 0 & -a \end{array} \right]$

коммутирует с оператором обмена кубитами

п "=" [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$P = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

Поэтому я ожидаю, что у них будут одинаковые собственные векторы. Собственные векторы $P$ легко увидеть, что они $(1,0,0,0)^T; (0,0,0,1)^T; (0,1,1,0)^T ; (0,1,-1,0)^T$ . Последние два также являются собственными векторами $H$ , а первых двух нет. Почему? Я думал, что коммутирующие операторы имеют один и тот же собственный базис?

ималлет

Может быть, math.stackexchange?

Ответы (2)

Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Матеус Сампайо · Answer 1

Вызов $u_1, u_2, u_3, u_4$ описанные вами собственные векторы соответственно. С вашими утверждениями все в порядке, но поймите, что оба $u_1$ и $u_2$ имеют одно и то же собственное значение, т. $1$ , т.е. $Pu_1=u_1$ и $Pu_2=u_2$ . Следовательно, любая линейная комбинация $u_1$ и $u_2$ также будут собственными векторами с тем же собственным значением $1$ . Попробуйте найти собственные векторы $H$ формы $\alpha u_1+\beta u_2$ , с $\alpha$ и $\beta$ будучи константами.

Хорошо, мне удалось получить ответ, сделав это. Хотя вычисления были довольно раздражающими, поэтому я не уверен, что это было намного быстрее, чем просто перебор исходного гамильтониана.
Вероятно, это даст такое же усилие, как и прямая диагонализация $H$ и проверка того, что они также являются собственными векторами $P$ .

Qмеханик · Answer 2

Qмеханик

Подсказка: когда собственное значение оператора $P$ является вырожденным, существует более одного способа выбрать набор собственных векторов. Если другой коммутирующий оператор $H$ снимает это вырождение, будет предпочтительный выбор общих собственных векторов.

В более общем смысле набор диагонализируемых операторов коммутативен тогда и только тогда, когда этот набор одновременно диагонализируем . $^1$

$^{1}$ В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Матеус Сампайо

В общем случае из-за проблем предметной области мы обычно определяем , что два самосопряженных оператора коммутируют, если коммутируют их спектральные проекции (или, что то же самое, их резольвенты), что является аналогичным случаем конечномерного случая, указанного в ссылке.

Qмеханик

Интересно отметить, что в теореме говорится о диагонализируемых операторах (а не о самосопряженных операторах, хотя, по общему признанию, последнее имеет значение для КМ). Диагонализуемость является общим свойством. Самосопряженность — особое свойство.

Матеус Сампайо

Если ограничиться случаем диагонализации через унитарные операторы

U

$U$ , то есть

A = U^{*} D U

$A=U^*DU$ , затем

A

$A$ нормально, потому что

A^{*} A = U^{*} D^{*} U U^{*} D^{*} U = U^{*} D^{*} D U = U^{*} D D^{*} U = U^{*} D U U^{*} D^{*} U = A A^{*}

$A^*A=U^*D^*UU^*D^*U=U^*D^*DU=U^*DD^*U=U^*DUU^*D^*U=AA^*$ . Тогда результат будет таким же в бесконечном случае, поскольку для нормальных операторов также имеется спектральная теорема, и мы определяем коммутативность так же, как и для самосопряженных.

Qмеханик

↑

$\uparrow$ Соглашаться.

Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Праздник позвоночника

ималлет

Ответы (2)

Матеус Сампайо

Праздник позвоночника

Матеус Сампайо

Qмеханик

Матеус Сампайо

Qмеханик

Матеус Сампайо

Qмеханик

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Суперпозиция в квантовой механике

Гамильтониан, действующий на суммирующий оператор

Тождество лестничного оператора для ⟨n|(a+a†)k|m⟩⟨n|(a+a†)k|m⟩\langle n | (а+а^\кинжал)^к | м \ угол

Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Спектральная теорема: матрицы против операторов

Построение POVM для распознавания квантовых состояний mmm. Что, если они линейно зависимы?

Почему операторы плотности охватывают все операторное пространство B(H)B(H)\mathcal{B}(H)?

Доказательство тождества поляризации для операторов в комплексных векторных пространствах

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?