Результат брекетов с многократным вращением

Я работаю над упражнением, в котором вычисляю вероятность перехода системы, состоящей из двух частиц со спином 1/2. Эта система имеет гамильтониан

$$\hat{H} = H_z (\hat{S}_{1x}+\hat{S}_{2x})$$ где $H_z$представляет собой постоянное магнитное поле в направлении z и $\hat{S}$- спиновый оператор, определяемый как $$S=\frac{\hbar}{2} \sigma_x$$ где $\sigma_x$– матрица Паули. После вычисления собственных энергий собственные состояния можно записать как $$\begin{align} | 0,0 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow \downarrow + \downarrow \uparrow\rangle \right) \\ | 1,1 \rangle &=| \uparrow \uparrow \,\rangle \\ | 1,0 \rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow \downarrow - \downarrow \uparrow\rangle \right) \\ | 1,-1 \rangle &=| \downarrow \downarrow \,\rangle \end{align}$$ т.е. как комбинации вращения вверх/вниз. Мой вопрос : при вычислении некоторых матричных элементов (например, в теории возмущений) такие термины, как $$W = \dots = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \, \, (\langle \uparrow \downarrow| + \langle\downarrow \uparrow|) \,\, | V | \, \,(|\uparrow\downarrow + |\downarrow\uparrow\rangle) \, \, \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}} V (\text{after reducing)}$$ всплывают часто. Конечно, такие вещи, как $$\begin{align} \langle \uparrow \downarrow|\uparrow \downarrow \rangle &= 1 \\ \langle \uparrow \downarrow|\downarrow \uparrow \rangle &= 0 \end{align}$$ довольно прямолинейны. Но как насчет таких вещей, как $$\begin{align} \langle \uparrow \uparrow|\uparrow \downarrow \rangle &= ? \\ \langle \uparrow \uparrow|(\downarrow \uparrow + \uparrow \downarrow)\rangle &= ? \end{align}$$ Или в целом: существуют ли простые, установленные правила обращения с этими бюстгальтерами и комплектами, может быть, даже с 3 или более спинами, или это нужно оценивать на более индивидуальной основе?