Собственные энергии и собственные кеты, заданные гамильтонианом

Для двухуровневой системы гамильтониан имеет вид:

ЧАС "=" а ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | )

где а число с размерностью энергии.

Мне нужно найти собственные значения энергии и соответствующие собственные значения (как комбинацию | 1 ⟩ и | 2 ⟩ ).

Я использовал:

ЧАС | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩
И используя тот факт, что: | а ⟩ "=" ∑ я с я | а я ⟩

Я написал | ψ ⟩ как комбинация двух системных комплектов | ψ ⟩ "=" с 1 | 1 ⟩ + с 2 | 2 ⟩ ( с 1 , с 2 комплексные числа).

так

ЧАС | ψ ⟩ "=" а ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) ⋅ ( с 1 | 1 ⟩ + с 2 | 2 ⟩ ) "=" а ( с 1 | 1 ⟩ − с 2 | 2 ⟩ + с 2 | 1 ⟩ с 1 | 2 ⟩ ) "=" а ( ( с 1 + с 2 ) | 1 ⟩ + ( с 1 − с 2 ) | 2 ⟩ ) "=" Е | ψ ⟩ .
Как мне продолжить?

Запишите его в матричной записи. Эта проблема может выглядеть более знакомой, если вы это сделаете.

Ответы (2)

Нахождение собственных значений матриц — простой процесс, поэтому для решения этой задачи начнем с записи гамильтониана в матричной форме на основе | 1 ⟩ и | 2 ⟩ .

Чтобы найти матричную форму любого линейного преобразования в линейной алгебре, мы можем применить преобразование к базисным векторам. В нашем случае находим ЧАС | 1 ⟩ и ЧАС | 2 ⟩ :

ЧАС | 1 ⟩ "=" а ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) | 1 ⟩ "=" а ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ )

С | 1 ⟩ и | 2 ⟩ являются ортонормированными базисными векторами, мы знаем, что скалярное произведение двух разных векторов равно 0, а одинаковых векторов равно 1. Мы можем использовать этот факт, чтобы значительно упростить вышеизложенное:

а ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ ) "=" а ( | 1 ⟩ + | 2 ⟩ )

Аналогичный процесс показывает, что

ЧАС | 2 ⟩ "=" а ( | 1 ⟩ − | 2 ⟩ )

Теперь мы можем записать гамильтониан в виде матрицы в предоставленном базисе:

ЧАС "=" а [ 1 1 1 − 1 ]

Найдите собственные векторы этой матрицы, чтобы определить собственные наборы.

(Кстати, вы можете заметить некоторые параллели между заданным выражением Гамильтона и рассчитанной матрицей Гамильтона. Подумайте, как это можно использовать для ускорения процесса нахождения матрицы Гамильтона для задач такого формата.)

ЧАС | ψ ⟩ "=" . . . "=" а ( ( с 1 + с 2 ) | 1 ⟩ + ( с 1 − с 2 ) | 2 ⟩ ) "=" Е | ψ ⟩ .

Теперь вам просто нужно вспомнить, как вы определили | ψ ⟩ . Примените это определение к приведенному выше уравнению и зная, что | 1 ⟩ и | 2 ⟩ независимы, вы можете легко найти с я .

Собственные энергии и собственные кеты, заданные гамильтонианом
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v