верна ли эта обобщенная формула излучения Хокинга?

Question

верна ли эта обобщенная формула излучения Хокинга?

Физика
черные дыры
излучение Хокинга
керр-ньюман-метрика

люршер

Посмотрите на уравнение 11.2.17 на этой странице . Выражение:

Т "=" 10^{- 5} К м \frac{ξ}{\frac{г М}{с^{2}} {\frac{г М}{с^{2}} + ξ} - е^{2}}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{\xi}{\frac{GM}{c^2} \lbrace \frac{GM}{c^2} + \xi \rbrace - e^2 }$

где

ξ "=" (р_{с}^{2} - а^{2} - е^{2})^{1 / 2}

$\xi = (r_s^2 - a^2 - e^2)^{1/2}$

и обычные параметры

р_{с} "=" \frac{г М}{с^{2}}

$r_s = \frac{GM}{c^2}$

а^{2} "=" \frac{л^{2}}{М^{2} с^{2}}

$a^2 = \frac{L^2}{M^2 c^2}$

е^{2} "=" \frac{{Вопрос}^{2} г}{4 π ϵ_{0} с^{4}}

$e^2 = \frac{Q^2 G}{4 \pi \epsilon_0 c^4}$

Эта формула должна описывать температуру черной дыры с угловым моментом $L$ , заряжать $Q$ и масса $M$

Вопрос: верна ли приведенная выше формула?

Я пытаюсь найти предельную температуру для $a=0$ и $e=r_s$

Температурное выражение может быть упрощено как

Т "=" 10^{- 5} К м \frac{ξ}{ξ^{2} + а^{2} + \frac{г М}{с^{2}} ξ}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{\xi}{\xi^2 + a^2 + \frac{GM}{c^2} \xi }$

если $a=0$ ,

Т "=" 10^{- 5} К м \frac{1}{ξ + \frac{г М}{с^{2}}}

$T = 10^{-5} \text{K m} \frac{1}{\xi + \frac{GM}{c^2} }$

поэтому, когда черная дыра имеет экстремальный заряд, $\xi=0$ и температура выглядит как нормальная температура черной дыры для черной дыры Шварцшильда, что выглядит очень неправильно

Любая идея, где ошибка? Я ожидал температуру заряженной экстремальной черной дыры с $a=0$ быть бесконечным

Алан Роминджер

Возмущение силы говорит мне, что в вашем исходном уравнении в скобках в знаменателе должен быть коэффициент, равный двум. Ваша проблема с интуицией, однако, может быть связана с обработкой дроби как

ξ

$\xi$ пределы до нуля. Если я посмотрю на ваше исходное уравнение, температура упадет до нуля. Чтобы добраться до конечного состояния, вам придется разделить обе части дроби на ноль... разозлив богов математики. quickmeme.com/meme/36gxmd

люршер

На самом деле радиус Шварцшильда

2 G M / c^{2}

$2GM/c^2$ но я переименовал

r_{s}

$r_s$ без множителя 2, но это нормально, так как экстремальность должна произойти при

2 r_{Q} = r_{s}

$2 r_Q= r_s$ , так что перемаркированное условие выглядит так

r_{Q} = r_{s}

$r_Q = r_s$ , при котором

ξ

$\xi$ должно стремиться к нулю.

люршер

извините, может я неправильно понял, где именно отсутствует множитель двойки? В любом случае, я не вижу множителя 2 в знаменателе на связанной странице. Я искал отдельный источник выражения температуры для проверки, но не могу найти.

люршер

@AlanSE для меня это тоже стремится к нулю, что противоречит тому, что сказано позже на этой странице (что температура должна стремиться к бесконечности в экстремальной точке), что является именно причиной, которая заставляет меня думать, что, может быть, все выражение неверно?

твистор59

В этой диссертации на странице 36 есть вывод временной шкалы Керра-Ньюмана .

Ответы (1)

верна ли эта обобщенная формула излучения Хокинга?

Возмущение силы говорит мне, что в вашем исходном уравнении в скобках в знаменателе должен быть коэффициент, равный двум. Ваша проблема с интуицией, однако, может быть связана с обработкой дроби как $\xi$ пределы до нуля. Если я посмотрю на ваше исходное уравнение, температура упадет до нуля. Чтобы добраться до конечного состояния, вам придется разделить обе части дроби на ноль... разозлив богов математики. quickmeme.com/meme/36gxmd
На самом деле радиус Шварцшильда $2GM/c^2$ но я переименовал $r_s$ без множителя 2, но это нормально, так как экстремальность должна произойти при $2 r_Q= r_s$ , так что перемаркированное условие выглядит так $r_Q = r_s$ , при котором $\xi$ должно стремиться к нулю.
извините, может я неправильно понял, где именно отсутствует множитель двойки? В любом случае, я не вижу множителя 2 в знаменателе на связанной странице. Я искал отдельный источник выражения температуры для проверки, но не могу найти.
@AlanSE для меня это тоже стремится к нулю, что противоречит тому, что сказано позже на этой странице (что температура должна стремиться к бесконечности в экстремальной точке), что является именно причиной, которая заставляет меня думать, что, может быть, все выражение неверно?
В этой диссертации на странице 36 есть вывод временной шкалы Керра-Ньюмана .

Алан Роминджер · Answer 1

В предыдущем вопросе Стэн Лиоу опубликовал ответ, в котором были следующие уравнения:

С какой скоростью вращающаяся черная дыра теряет массу из-за излучения Хокинга?

р_{\pm} "=" \frac{г}{с^{2}} [М \pm \sqrt{М^{2} - \frac{1}{4 π ϵ_{0} г} {Вопрос}^{2} - \frac{с^{2}}{г^{2}} \frac{{Дж}^{2}}{М^{2}}}]

$r_\pm = \frac{G}{c^2}\left[M\pm\sqrt{M^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0G}Q^2-\frac{c^2}{G^2}\frac{J^2}{M^2}}\right]$

κ "=" с^{2} \frac{р_{+} - р_{-}}{2 (р_{+}^{2} + а^{2})},

$\kappa = c^2\frac{r_+-r_-}{2(r_+^2+a^2)},$

Т "=" \frac{ℏ}{с к_{Б}} \frac{κ}{2 π} .

$T = \frac{\hbar}{c k_B}\frac{\kappa}{2\pi}.$

Теперь приступайте к моей работе.

Я буду использовать те же обозначения в вопросе здесь, для $r_s$ , $a^2$ , и $e^2$ . С их помощью мы можем переписать приведенные выше уравнения.

р_{\pm} "=" р_{с} \pm \sqrt{р_{с}^{2} - е^{2} - а^{2}} "=" р_{с} \pm ξ

$r_{\pm} = r_s \pm \sqrt{ r_s^2 - e^2 - a^2 } = r_s \pm \xi$

κ "=" с^{2} \frac{р_{+} - р_{-}}{2 (р_{+}^{2} + а^{2})} "=" с^{2} \frac{2 ξ}{2 ((р_{с} + ξ)^{2} + а^{2})}

$\kappa = c^2 \frac{ r_{+} - r_- }{2 (r_+^2+a^2) } = c^2 \frac{ 2 \xi }{ 2 ( (r_s+\xi)^2 + a^2 ) }$

Сократите уравнение для каппы дальше. Это просто алгебра, подстановка в xi один раз.

κ "=" с^{2} \frac{ξ}{2 р_{с} (р_{с} + ξ) - е^{2}}

$\kappa = c^2 \frac{ \xi }{ 2 r_s (r_s+\xi) - e^2 }$

Подключитесь к температуре, сгруппируйте константы впереди.

Т "=" (\frac{ℏ с}{2 π к_{Б}}) \frac{ξ}{2 р_{с} (р_{с} + ξ) - е^{2}}

$T = \left( \frac{ \hbar c }{ 2 \pi k_B } \right) \frac{ \xi }{ 2 r_s (r_s+\xi) - e^2 }$

Одна проблема заключается в том, что для группы констант я получаю $3.6 \times 10^{-4} m K$ . Во-вторых, это не соответствует первому уравнению, которое вы опубликовали, оно отличается на 2. Наконец, по ходу дела. $e=r_s$ , температура стремится к нулю, а не к бесконечности, как вы хотели.

Короче говоря, я не только не решил вашу проблему, я создал еще больше проблем.

верна ли эта обобщенная формула излучения Хокинга?

люршер

Алан Роминджер

люршер

люршер

люршер

твистор59

Ответы (1)

Алан Роминджер

Обобщенная температура Бекенштейна-Хокинга для черных дыр Керра-Ньюмана-dS

Экстремальная черная дыра без углового момента и без электрического заряда

Какова энергия связи черной дыры?

Сколько энергии выделяет испаряющаяся черная дыра в последнюю секунду своей жизни?

Может ли горизонт событий сохранить законы сохранения для черных дыр?

Превратится ли черная дыра в нейтронную звезду?

Как именно испаряется черная дыра?

Основываясь на термодинамике черной дыры, разве пустое пространство не должно содержать бесконечную энергию?

Являются ли электроны просто не полностью испарившимися черными дырами?

Является ли черная дыра идеальным черным телом?