Видимая скорость приближающегося объекта

Представьте , что к Земле с относительной скоростью приближается замаскированное ^{1 инопланетное судно.}$\beta = \frac{v}{c}$. На расстоянии двух световых лет по земной системе координат ² корабль включает радио и посылает Земле ультиматум. Мы называем этот момент нулевым временем в системе отсчета Земли.

Затем он выключает радио, пока не достигнет расстояния в один световой год (опять же, измеренного в системе отсчета Земли), после чего снова включает радио, чтобы повторить вызов.

Теперь рассмотрим время, измеренное в системе отсчета Земли.

В$t_1 = 0$отправляется первое сообщение.
В$t_{1'} = t_1 + (2\,\mathrm{year})$получено первое сообщение.
В$t_2 = t_1 + \frac{(1\,\mathrm{year})}{\beta}$отправляется второе сообщение.
В$t_{2'} = t_2 + (1\,\mathrm{year}) = t_1 + \frac{(1\,\mathrm{year})}{\beta} + (1\,\mathrm{year})$получено второе сообщение.

Земные наблюдатели видят два сообщения с одного корабля, разделенные расстоянием или одним световым годом, которые приходят с разницей во времени

$$\Delta t = t_{2'} - t_{1'} = \frac{1\,\mathrm{year}}{\beta} - (1 \,\mathrm{year}) \,.$$ Исходя из этого, они вычисляют кажущуюся скорость приближающегося корабля. $$\begin{align} v_{app} &= \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &= \frac{1 \,\mathrm{lightyear}}{\frac{1\,\mathrm{year}}{\beta} - (1 \,\mathrm{year})} \\ & = \frac{c}{\frac{1}{\beta} - 1} \\ & = \frac{\beta c}{1 - \beta} \\ & = \frac{v}{1 - v/c}\,. \end{align}$$

Для$v \ll c$мы получаем$v_{app} \approx v$, но$v$становится значительной частью$c$вещи меняются. На самом деле для$v = \frac{c}{2}$мы получаем

$$v_{app}(0.5c) = \frac{0.5c}{1 - 0.5} = c \,,$$ а для скоростей сближения, превышающих половину с, кажущаяся скорость превышает скорость света.

Это наблюдалось в джетах прямо вдоль нашего луча зрения.

Эффект симметричный, инопланетяне так же быстро видят приближающуюся Землю.

Этот эффект также не связан с доплеровским сдвигом.

Существует тесная связь между этим анализом и эффектом «ускоренной перемотки вперед» (или «замедленного движения») во времени, наблюдаемого впереди или позади вас при быстром движении относительно предмета, который вы наблюдаете.

---

⁽¹⁾ Если мы сможем сконцентрироваться ровно на двух сигналах, это не повлияет на результаты.

⁽²⁾ Радиообсерватории на Земле могут измерять расстояние до источника сигнала прямым параллаксом или интерферометрическими методами.

Вы, наверное, уже знаете, что ни в Википедии , ни где-либо еще нет вывода преобразования скорости , как и вывода других преобразований для специальной теории относительности (по крайней мере, я их не нашел). Однако в подразделе о принципе относительности говорится, что$v' = -v$.

Итак, согласно Википедии, вы должны предположить, что кажущаяся скорость, о которой вы спрашиваете, равна:

$$v = - v'$$ (что довольно озадачивает, поскольку переменные x и t изменяются при преобразованиях в обратной пропорции - отсюда замедление времени и сокращение длины - и, следовательно, значения для v и v 'должны различаться).