Вильсонианская РГ и эффективная теория поля

Мне трудно согласовать рассуждения о вильсоновской РГ, которые появляются в текстах Пескина, Шредера и Зи, с одной стороны, и в текстах Шварца, Средненицкого и Вайнберга, с другой.

В первом они, кажется, говорят, что по мере того, как кто-то масштабируется до более низкого импульса, связи с отрицательной размерностью массы («нерелевантные связи») масштабируются до все меньших и меньших значений по мере того, как интегрируются моды с большим импульсом. Следовательно, на масштабах энергий, намного меньших начального обрезания, теория будет выглядеть как перенормируемая КТП, поскольку нерелевантные связи становятся малыми при РГ-потоке.

Напротив, в книгах Шварца, Средненицкого и Вайнберга утверждается, что вильсоновский РГ-анализ НЕ подразумевает, что нерелевантные связи масштабируются до малых значений при интегрировании мод с большим импульсом, а просто то, что они становятся вычислимыми функциями релевантных и маргинальных связей. . То есть они становятся нечувствительными к значениям несущественных связей исходного лагранжиана с большим обрезанием.

Мой вопрос в том, как мне примирить эти два взгляда?

Моим первым знакомством с этой темой стали Пескин и Шредер, и я подумал, что в то время все это имело смысл. Теперь, когда я прочитал более поздние книги Шварца и др., мне интересно,

  1. Я неверно истолковал то, что говорят П&С и Зи, когда они обсуждают вильсоновскую РГ и эффективные теории поля, или

  2. они сделали несколько упрощающих предположений, что методы лечения Schwartz et. др. не делай.

Что касается 2-го пункта, при обсуждении того, как масштабируются связи в рамках RG, P&S в значительной степени игнорирует «динамическую часть», которая возникает в результате оценки диаграмм петель, и в этом случае масштабирование связей сводится к простому размерному анализу. В этом случае не учитывается смешивание операторов (т. е. релевантные и маргинальные связи могут добавляться в поток нерелевантных связей). Это, кажется, отличается от трактовки Шварца, где он хранит информацию от бета-функций, которые кодируют информацию из циклических диаграмм и позволяют смешивать операторы. Может ли это быть причиной того, что они, кажется, говорят разные вещи о размере нерелевантных муфт, когда вы снижаете отсечку?

Обе картинки совместимы. Рассмотрим размерность 6 4-фермиевского эффективного члена грамм Ф Дж ⋅ Дж , куда грамм Ф знак равно 1 / в 2 2 , поэтому не зависит от ходовых муфт грамм ( мю ) . Этот член не перенормирует петлю и т. Д. Он просто увеличивает время жизни μ, например, на более низких энергетических шкалах, здесь заданных массой μ. Если бы μ был в 10 раз легче, он бы жил 10 5 раз дольше.

Ответы (2)

Одно из основных (но обычно не заданное явно) допущение пертурбативной РГ состоит в том, что даже при наличии нерелевантных взаимосвязей поток РГ начинается вблизи гауссовой фиксированной точки (ФП). Таким образом, отрицательные массовые операторы стремятся к нулю, делая гауссову FP все более и более точной аппроксимацией, пока не сработают соответствующие связи.

В этом случае получается «перенормируемая» теория, и можно просто позаботиться об одной или двух соответствующих связях, возвращаясь, таким образом, к старой школе КТП РГ.

Однако Уилсон не предполагает, что нерелевантные (по отношению к гауссовой FP) связи должны быть малы. На самом деле, в большинстве статистических приложений все соединения имеют один и тот же порядок! (Например, в модели Изинга есть только один параметр К знак равно Дж / Т , поэтому соответствующая теория поля имеет все связи одного и того же порядка.) Но это не мешает в принципе провести некоторые РГ-вычисления. На самом деле в этих моделях течение никогда не приближается к гауссовой FP, и с самого начала течение непертурбативно.

Однако следует иметь в виду, что если кого-то интересует только критическое поведение системы, благодаря универсальности, близкой к (подобной Уилсону-Фишеру) ФП, можно также изучать более простую теорию (скажем, ф 4 КТП), что достаточно для описания структуры фиксированной точки (обычно). Именно это спасает пертурбативную РГ от забвения.

Это то же самое, что сказать, что P&S и другие подобные подходы, утверждающие, что связи с отрицательной размерностью массы стремятся к нулю в потоке РГ Вильсона, в основном предполагают, что начальная точка достаточно близка к гауссовской FP, так что линеаризованное преобразование РГ действительный?
@HamiltonianFlow Да, это так.

Это отличный вопрос. У ОП есть смысл.

  1. С одной стороны, эффективное действие Вильсона (WEA) определяется с помощью двухэтапной процедуры, ср. исх. 1-3:

    • 1-й шаг: WEA — генератор Вт с [ Дж ЧАС , ф л ] связных диаграмм Фейнмана тяжелых/высоких мод ф ЧАС с волновыми векторами Λ л ≤ | к | ≤ Λ ЧАС на фоне светлых/низких режимов ф л с волновыми векторами | к | ≤ Λ л и тяжелые источники Дж ЧАС ,
      (В1) опыт { − 1 ℏ Вт с [ Дж ЧАС , ф л ] }   знак равно   ∫ Λ л ≤ | к | ≤ Λ ЧАС Д ф ЧАС ℏ   опыт ⁡ { 1 ℏ ( − С [ ф л + ф ЧАС ] + Дж ЧАС ф ЧАС ) }
      (тяжелые источники Дж ЧАС в основном вводятся для того, чтобы мы могли использовать методы генерации. В конце они обычно обнуляются.) Здесь Λ знак равно Λ л - шкала перенормировки, и Λ ЧАС это УФ-отсечка/регуляризация. (Сказать, Λ ЧАС ∼ 1 / а на решетке с постоянной решетки а .)

    Априори различные термины в WEA не нормированы. Типичный кинетический член имеет вид ∫ Z ф 2 ( ∂ ф л ) 2 г н Икс , а типичный член взаимодействия имеет вид ∫ Z грамм грамм н н ! ф л н г н Икс , украшенный Z -факторы .

    • 2-й шаг: определение (W1) WEA неявно предполагает блокировку : теперь мы изменяем масштаб переменных интегрирования.
      (В2) к ′   знак равно   к / б , Икс ′   знак равно   Икс б , б   знак равно   Λ л / Λ ЧАС   <   1 ,
      в действии Вт с [ Дж ЧАС , ф л ] , так что легкие/низкие режимы ф л имеет волновые векторы | к ′ | ≤ Λ ЧАС . Мы также масштабируем световые поля
      (В3) ф л ′   знак равно   Z ф 1 / 2 ф л / б [ ф ] ,
      так что кинетический член
      (В4) ∫ Z ф 2 ( ∂ ф л ) 2 г н Икс   знак равно   ∫ 1 2 ( ∂ ф л ′ ) 2 г н Икс
      канонически нормализовано. Точно так же типичный член взаимодействия принимает вид
      (В5) ∫ Z грамм грамм н н ! ф л н г н Икс   знак равно   ∫ грамм н ′ н ! ф л ′ н г н Икс ′ ,
      так что новая константа связи становится
      (В6) грамм н ′   знак равно   Z грамм Z ф н / 2 грамм н / б [ грамм н ] .
      Здесь неактуальные муфты (с [ грамм н ] < 0 ) вымрут в ИК, если (и это большое если) мы сможем пренебречь Z -факторы.

  2. С другой стороны, эффективное действие Вильсона-Полчинского (WPEA) определяется как

    (WP1) опыт ⁡ { 1 ℏ ( − 1 2 ф л грамм л − 1 ф л − Вт я н т [ Дж , ф л ] ) } ,
    куда
    (РП2) опыт { − 1 ℏ Вт я н т [ Дж , ф л ] }   знак равно   ∫ Λ л ≤ | к | ≤ Λ ЧАС Д ф ЧАС ℏ   опыт ⁡ { 1 ℏ ( − 1 2 ф ЧАС грамм ЧАС − 1 ф ЧАС − С я н т [ ф л + ф ЧАС ] + Дж ( ф л + ф ЧАС ) ) } ,
    ср. исх. 4-7. Здесь действуют Зеленые грамм ЧАС / л для высоких и низких режимов умножаются на плавный регулятор/фильтр, зависящий от Λ .

    Обратите внимание, что Вт я н т [ Дж , ф л ] не включает бесплатный период 1 2 ф л грамм л − 1 ф л , только соответствующий контрчлен. Здесь мы не делаем 2-й шаг, но можем сделать связи безразмерными

    (РП3) λ н   знак равно   грамм н / Λ [ грамм н ] .
    В пределе ИК Λ → 0 , нерелевантные связи зависят от маргинальных и релевантных связей, в то время как они становятся независимыми от УФ-отсечки Λ ЧАС . Обманчиво, ур. (WP3) может наивно предположить, что нерелевантные связи λ н вымирают в ИК, а на практике λ н обычно текут к конечному значению с фиксированной точкой, в то время как это грамм н знак равно λ н Λ [ грамм н ] → ∞ что взорвать для Λ → 0 .

Использованная литература:

  1. М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, Введение в QFT; раздел 12.1.

  2. А. Зи, QFT в двух словах, 2010; раздел VI.8.

  3. Д. Тонг, Статистическая теория поля ; глава 3, с. 55-58.

  4. MD Schwartz, QFT и стандартная модель , 2014; раздел 23.6.

  5. М. Средненицкий, QFT , 2007; глава 29, с. 181-182. Предварительный PDF-файл перед публикацией доступен здесь .

  6. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 1, 1995; раздел 12.4.

  7. Дж. Полчински, Перенормировка и эффективные лагранжианы, Nucl. физ. В231 (1984) 269 .

Вильсонианская РГ и эффективная теория поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v