Почему у нас нет логарифмов или экспонент полей в лагранжианах?

Есть причина, которая запрещает функции, отличные от многочленов низкой степени, но иногда мы не заботимся об этой причине, и тогда у нас есть сложные функции полей в лагранжиане. Позвольте мне сначала привести причину, затем объяснить, когда мы ее игнорируем, а затем привести пример.

Будем использовать единицы, в которых действие безразмерно, т. е.$\hbar = 1$, а также$c = 1$. Тогда действие

$$S = \int d^4 x \, \mathcal L.$$ а также $d^4x$имеет единицы $\text{mass}^{-4}$; это массовый размер $-4$. Отсюда лагранжиан $\mathcal L$должны иметь единицы $\text{mass}^4$, т. е. массоразмерность $4$. В этих единицах тензор электромагнитного поля $F_{\mu\nu}$имеет массовую размерность $2$и поле Дирака $\psi$размерность массы $\frac 3 2$.

Теперь оказывается, что в перенормируемой теории любые константы связи должны иметь массовую размерность$d \ge 0$-- доказательство есть у Вайнберга, гл. 12. Отсюда такой термин, как$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$или же$\frac{1}{M^4}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^2$не может появиться в перенормируемом лагранжиане. A forteriori это исключает такие функции, как$\exp(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$. [Вот почему общая теория относительности и КТП не смешиваются: кривизна имеет размерность$\text{length}^{-2} = \text{mass}^2$, так$G$имеет массовую размерность$-2$.]

Однако если мы отбросим требование перенормируемости, то в эффективной теории поля не будет предела тому, что мы можем вложить в наш лагранжиан. На самом деле такой термин, как$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$появляется в эффективной теории электронов во внешних полях — это знаменитый аномальный магнитный момент. Хотя это все еще полином, Гейзенберг и Эйлер вычислили эффективный лагранжиан для КЭД в сильном фоновом поле уже в 30-х годах. это

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}$$ куда $\mathcal F = \frac{1}{4}F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$а также $\mathcal G = \frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}$. Довольно сложная функция полей!

Лагранжиан Гейзенберга-Эйлера был предметом многих исследований с тех пор , и я уверен, что другие могут привести другие примеры эффективных теорий поля с неполиномиальными действиями.