Волновая функция «однозначная» и «с точностью до фазы» ( калибровочное преобразование ) Существование глобального сечения в полном линейном пучке

Question

Волновая функция «однозначная» и «с точностью до фазы» ( калибровочное преобразование ) Существование глобального сечения в полном линейном пучке

Анонимный

Я всегда встречаю следующие высказывания: в одном случае говорят, что волновая функция должна быть однозначной, в другом говорят, что волновая функция может быть с точностью до фазы в той же точке, если есть калибровочное преобразование. Я так озадачен этими двумя высказываниями. Я перечислю несколько случаев, когда встречаю эти высказывания.

Сначала рассмотрим свободную частицу в круге $S^1$ с радиусом $r$ . Гамитониан

ЧАС знак равно \frac{1}{2 м р^{2}} (- я ℏ \frac{\partial}{\partial ф})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi})^2$ Тогда собственная функция

ψ знак равно \frac{1}{\sqrt{2 π р}} е^{я н ф}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ Поскольку волновая функция должна быть однозначной на

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ должны принадлежать целым числам, т.е.

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ .

Второй случай, рассмотрим частицу в круге $S^1$ с радиусом $r$ и поставить флюс $\Phi$ в центре круга. Тогда гамитониан

ЧАС знак равно \frac{1}{2 м р^{2}} (- я ℏ \frac{\partial}{\partial ф} + \frac{е Φ}{2 π})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{e\Phi}{2\pi})^2$

Собственная функция по-прежнему

ψ знак равно \frac{1}{\sqrt{2 π р}} е^{я н ф}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ Кроме того, поскольку волновая функция должна быть однозначной на

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ должны принадлежать целым числам, т.е.

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Единственная разница в том, что будет некоторый сдвиг собственного значения.

В третьем случае рассмотрим частицу в торе. $T^2$ , с двумя длинами $L_x$ и $L_y$ . И ставим однородное магнитное поле $B$ через поверхность тора. Если мы выберем калибровку Ландау $A_x = 0$ , $A_y= B x$ . Гамитониан сейчас

ЧАС знак равно \frac{1}{2 м} (п_{Икс}^{2} + (п_{у} + е Б Икс)^{2})

$H=\frac{1}{2m}(p_x^2 +(p_y+eBx)^2)$

Мы знаем, что в этом случае симметрия гамитониана называется магнитной трансляционной группой .

Т (г) знак равно е^{- я г \cdot (я \nabla + е А / ℏ)}

$T(\mathbf{d})= e^{-i \mathbf{d}\cdot(i\nabla+e \mathbf{A}/\hbar)}$ то есть

[T (d), H] = 0

$[T(\mathbf{d}),H]=0$ Итак, собственная функция

ψ (x, y)

$\psi(x,y)$ должен быть инвариантным относительно

T (d)

$T(\mathbf{d})$ .

Т_{Икс} ψ (Икс, у) знак равно ψ (Икс + л_{Икс}, у) знак равно ψ (Икс, у)

$T_x \psi(x,y)=\psi(x+L_x,y)=\psi(x,y)$

Т_{у} ψ (Икс, у) знак равно е^{- я е Б л_{у} Икс / ℏ} ψ (Икс, у + л_{у}) знак равно ψ (Икс, у)

$T_y \psi(x,y)=e^{-ieBL_yx/\hbar}\psi(x,y+L_y)=\psi(x,y)$ с

T_{x} = T ((L_{x}, 0))

$T_x =T((L_x,0))$ и

T_{y} = T ((0, L_{y}))

$T_y=T((0,L_y))$ . Таким образом, мы видим, что волновая функция в этом случае не является однозначной , т.е.

ψ (x, y + L_{y}) \neq ψ (x, y)

$\psi(x,y+L_y)\ne \psi(x,y)$ .

Мой вопрос: в каком случае мы допускаем, что волновая функция не является однозначной? Мы видим все случаи многосвязности физического пространства. И 2-й, и 3-й случаи - это система с электромагнитным полем/калибровочным полем, почему 1-й, 2-й все еще однозначны, а 3-й нет? Кажется, существование нетривиальной топологии физического пространства или магнитного поля/калибровочного поля не является ответом.

PS: благодаря @David Bar Moshe я никогда не осознавал, что этот вопрос может быть связан с глобальным разделом сложных линейных пучков.

Qмеханик

Какие люди?...

пользователь153663

@Qmechanic Во многих учебниках по QM говорится, что волновая функция однозначна.

ZeroTheHero

Ваша нотация не идеальна, как у вас

ϕ

$\phi$ для собственной функции, а также

ϕ

$\phi$ для угла. Не могли бы вы отредактировать, чтобы упростить ссылки?

пользователь154997

я не думаю

A_{x} = 0

$A_x=0$ ,

A_{y} = B x

$A_y=Bx$ держится на всем торе, для начала.

Джахан Клас

Я считаю, что единственная причина, по которой волновая функция не является однозначной, заключается в том, что

\vec{A}

$\vec{A}$ неоднозначна на торе.

физшип

волновая функция, как и любая функция, должна иметь только одно значение для каждого входа. так как ваша система периодическая

ψ (x)

$\psi(x)$ и

ψ (x + L)

$\psi(x+L)$ должно быть так же, потому что

x

$x$ и

x + L

$x+L$ точно такая же точка в этой системе.

пользователь153663

@physshyp Тогда как объяснить мой третий случай? Это абсолютно не однозначный.

пользователь154997

Я думаю, что есть условие квантования на

L_{1}

$L_1$ и

L_{2}

$L_2$ фактически. Этот вид темы обычно обсуждается с тяжелым геометрическим формализмом, но я нашел ссылку, которая делает его прозаичным: Э. Онофри. Уровни Ландау на торе. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, февраль 2001 г. Если я полностью неправильно понял ваш третий случай, эта статья посвящена именно этому.

Ответы (1)

Волновая функция «однозначная» и «с точностью до фазы» ( калибровочное преобразование ) Существование глобального сечения в полном линейном пучке

@Qmechanic Во многих учебниках по QM говорится, что волновая функция однозначна.
Ваша нотация не идеальна, как у вас $\phi$ для собственной функции, а также $\phi$ для угла. Не могли бы вы отредактировать, чтобы упростить ссылки?
я не думаю $A_x=0$ , $A_y=Bx$ держится на всем торе, для начала.
Я считаю, что единственная причина, по которой волновая функция не является однозначной, заключается в том, что $\vec{A}$ неоднозначна на торе.
волновая функция, как и любая функция, должна иметь только одно значение для каждого входа. так как ваша система периодическая $\psi(x)$ и $\psi(x+L)$ должно быть так же, потому что $x$ и $x+L$ точно такая же точка в этой системе.
@physshyp Тогда как объяснить мой третий случай? Это абсолютно не однозначный.
Я думаю, что есть условие квантования на $L_1$ и $L_2$ фактически. Этот вид темы обычно обсуждается с тяжелым геометрическим формализмом, но я нашел ссылку, которая делает его прозаичным: Э. Онофри. Уровни Ландау на торе. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, февраль 2001 г. Если я полностью неправильно понял ваш третий случай, эта статья посвящена именно этому.

Давид Бар Моше · Answer 1

В квантовой механике нормализация волновой функции не важна, поскольку мы вычисляем ожидания в соответствии с:

⟨ О ⟩ знак равно \frac{ψ^{†} О ψ}{ψ^{†} ψ}

$\langle O \rangle = \frac{\psi^{\dagger} O \psi}{\psi^{\dagger} \psi}$ По этой причине волновые функции отождествляются с сечениями сложных линейных пучков. См. это введение для физиков Орландо Альвареса.

Когда линейный пучок тривиален, его пространство сечений может быть сформировано из истинных функций, которые должны быть однозначными.

Класс эквивалентности линейных расслоений над многообразием $M$ называется группой Пикара $\mathrm{Pic}(M)$ . Каждый элемент (помимо единицы) этой группы порождает неэквивалентное квантование, в котором фазовый множитель не может быть устранен калибровочным преобразованием.

См . краткое объяснение в Прието и Витоло .

На дифференцируемых многообразиях группа Пикара изоморфна второй группе когомологий над целыми числами

п я с (М) ≅ {ЧАС}^{2} (М, Z)

$\mathrm{Pic}(M) \cong H^2(M, \mathbb{Z})$

Вот почему он редко упоминается в текстах по квантовой механике, которые скорее относятся к соответствующему элементу из $H^2(M, \mathbb{Z})$ представляющие первый класс Черна.

Следует подчеркнуть:

(1) что даже когда группа Пикара тривиальна или квантование соответствует тривиальному элементу, мы можем иметь многозначные волновые функции, но многозначность может быть устранена калибровочным преобразованием.

(2) Первый класс Черна не является достаточным классификатором неэквивалентных квантований. Он не обнаруживает эффектов, подобных эффекту Ааронова-Бома. Они обнаруживаются элементом группы $\mathrm{Hom}(\pi_1(M), U(1))$ , см., например, Доебнер и Толар .

(3) Соответствующий коллектор $M$ является фазовым пространством. Поскольку в данном примере речь идет о точечных частицах, фазовое пространство которых является кокасательным расслоением конфигурационного пространства, нетривиальная топология лежит в конфигурационном пространстве, и мы можем говорить о линейных расслоениях над конфигурационным пространством.

Возвращаясь к вашим примерам: первые два описывают движение по кругу. $S^1$ . По размерным рассуждениям $H^2(S^1, \mathbb{Z})=0$ , таким образом, волновые функции могут быть выбраны как истинные функции. Второй пример относится к случаю, описанному во втором замечании выше, поскольку $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

В третьем примере $H^2(T^2, \mathbb{Z})= \mathbb{Z}$ , порожденная целыми кратными базового элемента площади, таким образом, для ненулевого магнитного поля волновые функции не могут быть приняты за истинные функции.

Спасибо. Раньше я никогда не предполагал, что этот вопрос будет связан с характеристическим классом расслоения.

Волновая функция «однозначная» и «с точностью до фазы» ( калибровочное преобразование ) Существование глобального сечения в полном линейном пучке

Анонимный

Qмеханик

пользователь153663

ZeroTheHero

пользователь154997

Джахан Клас

физшип

пользователь153663

пользователь154997

Ответы (1)

Давид Бар Моше

пользователь153663

Небольшая путаница с эффектом Ааронова-Бома

Нарушает ли магнитный монополи U(1)U(1)U(1) калибровочную симметрию?

Есть ли топологическая разница между электрическим монополем и магнитным монополем?

«Реальность» электромагнитных волн по сравнению с волновой функцией отдельных фотонов — почему бы не рассматривать волновую функцию как столь же «реальную»?

Усиление Парселла под углом: направление колебаний заряда

Распределение электронов вокруг атома при движении

Вывести плотность тока вероятности - несоответствие в 2 раза [закрыто]

Почему электрический Потенциал должен быть реальным, а не Потенциал в квантовой механике?

Путаница с 1-формами, представленная в «Гравитации» (Кип С. Торн,...)

Проводимость и распространение [дубликат]