Небольшая путаница с эффектом Ааронова-Бома

Этот «вывод» задевает мою любимую мозоль, заключающуюся в том, что математическая обработка топологических фаз постоянно путает фазовый сдвиг, возникающий в результате физического процесса, с абстрактными, физически бессмысленными фазами, вычисляемыми путем слепой подстановки уравнений друг в друга.

Физическая и формальная фазы

Эффект Ахаранова-Бома даже не самый плохой пример; эта награда достается любому. Anyons подобрать фазу$e^{i \phi}$когда они физически меняются местами, т. е. когда два из них берутся и меняются местами экспериментатором, предполагая отсутствие дополнительных внешних полей, анионы перемещаются медленно и т. д. Однако его постоянно путают с фазой, возникающей в результате формальной замены двух переменных в волновой функции многих тел.

$$\psi(x_1, x_2, \ldots) = e^{i \theta} \psi(x_2, x_1, \ldots).$$ Легко доказать, что эта формальная фаза всегда $\pm 1$в любом измерении, что побудило даже очень способных математиков утверждать, что любые ионы не могут существовать . Большинство вводных книг по квантовой механике, пытающихся рассматривать кого-либо, совершают именно эту ошибку, а затем бормочут что-то неверное о топологии, позволяющей формальной фазе отличаться от $\pm 1$. Это беспорядок. (Хорошее лечение смотрите здесь .)

Точно так же фаза Ахаранова-Бома состоит в том, что частица захватывает дополнительную фазу$e^{i \theta}$при перемещении вокруг потока. Легко увидеть, откуда берутся фазы Ахаранова-Бома и любой фазы, если использовать интеграл по траекториям. Студенты с математическим складом ума часто отвергают этот аргумент, основанный на траекториях, как «эвристический», но это упускает суть, потому что физика ситуации явно связана с траекториями. Вы не можете легко увидеть фазовый сдвиг между двумя траекториями, если используете независимое от времени уравнение Шрёдингера.

Если вам не нравится интеграл по путям, вы также можете вывести эти фазы с помощью адиабатической теоремы: поймать частицу в ящике в точке$\mathbf{R}$и транспортировать коробку вокруг флюса. Соединение манометра$\mathbf{A}$работает точно так же, как связность Берри на состояниях$|\mathbf{R} \rangle$, и затем вывод происходит точно так же, как вывод формального расслоения ниже. Обратите внимание, что как в интеграле по путям, так и в адиабатической теореме явно требуется, чтобы транспорт был медленным. В первом случае, чтобы не набрать лишнего$\int \mathbf{p} \cdot d \mathbf{x}$фаз, а в последнем случае это условие теоремы адиабаты.

Правильный вывод пучка волокон

Аргумент, который вы привели, основан на сравнении волновых функций в двух разных датчиках, что физически бессмысленно. Вот правильный вывод.

Как вы знаете, мы можем описать калибровочное поле в терминах$U(1)$-связывать$M$. Все такие связки тривиальны, поэтому в большинстве курсов о них не говорится; это только усложняет ситуацию. Однако предположим, что мы все равно решили использовать пакеты и рассмотрели$M$с двумя патчами. Затем мы можем вычислить фазу, полученную при перемещении частицы вокруг потока, следующим образом.

• В первом патче интегрируйте$\int \mathbf{A} \cdot d\mathbf{x}$.
• Когда частица переходит от первого участка ко второму, добавьте фазу для учета функции перехода между участками.
• Во втором патче интегрируйте$\int \mathbf{A} \cdot d \mathbf{x}$.
• Когда частица переходит из второго патча обратно в первый, добавьте еще одну фазу функции перехода.

Поскольку расслоение тривиально, функции перехода можно выбрать тривиальными, сводясь к формализму не расслоения. Тем не менее, мы также можем выбрать измерение соединения в каждом патче. Тогда частица вообще не набирает фазу, так как она параллельно транспортируется через участки (опять же, при условии, что она движется медленно, без дополнительных внешних полей, без учета динамических фаз и т. д.), но набирает фазы от нетривиальных функций перехода. Конечно, поскольку ответ представляет собой физическую величину, в любом случае она будет рассчитана одинаково. Ваш текст только что показал это явно.

Использование фальшивой деривации

Сравнение волновых функций в двух разных датчиках не имеет ничего общего с физическим процессом в эффекте Ахаранова-Бома, но ваш текст получает правильный ответ в основном случайно; есть только один ответ, который вы могли бы получить в этой простой ситуации. К счастью, установка вашего текста полезна для другого: для нахождения спектра частиц на кольце.

Предположим, что частица ограничена кольцом, через которое проходит поток. Если бы не было потока, собственные энергетические состояния были бы

$$\psi_n(\theta) \propto e^{i n \theta}, \quad E_n \propto n^2.$$ Теперь предположим, что поток включен, что дает фазу Ахаранова-Бома $e^{i \phi}$. Обычно, чтобы получить спектр, вам нужно решить уравнение Шредингера с векторным потенциалом, но, используя настройку пучка волокон, мы можем просто установить его равным нулю на каждом патче. Предположим, что мы установили одну из функций перехода как тривиальную, а пересечение другой заплаты $\theta = 0$, у нас есть $$\lim_{\theta \to 0^+} \psi_n(\theta) = e^{i \phi} \lim_{\theta \to 2\pi^-} \psi_n(\theta)$$ где $\psi_n(\theta)$удовлетворяет уравнению Шредингера для нулевого векторного потенциала. (Конечно, волновая функция остается однозначной, пока мы помним, что имеет смысл сравнивать ее с самой собой только в пределах одного патча.) Тогда мы имеем $$\psi_n(\theta) \propto e^{i (n - \phi/2\pi) \theta}, \quad E_n \propto (n - \phi/ 2 \pi)^2$$ что дает измеримое изменение спектра. Это тот случай, когда вам нужно независимое от времени уравнение Шредингера, а не интегральные траектории по траекториям, но это потому, что физика совершенно другая.

Оригинальная задача Бома-Ааронова [Y. Ааронов и Д. Бом Phys. Rev. 115, 485 (1959)] посвящен рассеянию электронов на соленоиде. Они дают хорошее решение уравнения Шредингера в виде суммы функций Бесселя, которые интересно рисовать:

Изображение представляет собой действительную часть волновой функции для случая 1/4 единицы потока через соленоид. Волна идет справа. Фазовый сдвиг БА приводит к смещению нисходящих потоков выше и ниже гребней волны на 1/4 длины волны. Однако сама волновая функция везде однозначна.

Если вывод неверен, то какой простой способ показать, что фазовый сдвиг определяется выражением , не зависящим от интегралов по путям?

Хотя сдвиг БА был экспериментально подтвержден много раз, я считаю, что все эти выводы о физическом эффекте (сдвиге), основанные на математических рассуждениях о$\mathbf A$вне соленоида неубедительны, а может быть, и вовсе недействительны.

Основная проблема заключается в том, что все эти выводы предполагают , что петлевой интеграл вдоль петли$\partial S$вокруг соленоида равен магнитному потоку через поверхность$S$который определяется циклом:

$$\oint_{\partial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf B\cdot d\mathbf S~~~(1)$$

Хотя это верно для векторных потенциалов, рассматриваемых в большинстве ситуаций, обсуждаемых в учебниках по физике, это не обязательное свойство векторного потенциала. Единственными условиями, которые ограничивают векторный потенциал в ЭМ теории, являются

$$\mathbf B = \nabla \times \mathbf A,$$ $$\mathbf E + \nabla \varphi = -\partial_t \mathbf A.$$

Из первого условия можно вывести формулу (1), но только если$\mathbf A$хорошо себя ведет во всех точках поверхности (включая поверхность и внутреннюю часть соленоида). Если это не так (при наличии разрыва или сингулярности), вывод терпит неудачу. Следовательно, существуют допустимые функции$\mathbf A(\mathbf x)$которые при интегрировании вне соленоида не подчиняются (1).

Например, есть функция$\mathbf A_0(\mathbf x)$который обращается в нуль вне соленоида (поэтому он дает$\nabla \times \mathbf A = 0$тривиально) и отлична от нуля только внутри соленоида. Она также обязательно имеет разрыв на поверхности соленоида (или есть другая функция, непрерывная по поверхности, но имеющая сингулярность внутри соленоида). Таким образом, отношение$\mathbf B=\nabla \times \mathbf A$на поверхности соленоида не работает, но это верно для всех функций, включая стандартную, если распределение тока на поверхности соленоида бесконечно тонкое.

Эти детали не должны влиять на решение уравнения Шрёдингера, если соленоид моделировать как бесконечный потенциальный барьер (правда, это не очень ясно и, возможно, эффект разрыва или сингулярности проявляется даже через бесконечную потенциальную стену...).

Только когда мы ограничиваем векторный потенциал семейством, которое имеет ненулевой петлевой интеграл, мы можем получить какое-либо влияние магнитного потока на$\psi$функция.

По этим причинам я думаю, что хорошо либо 1) найти какой-то аргумент в пользу того, почему разрешены только определенные векторные потенциалы (что вряд ли будет очень плодотворным, учитывая, что они всего лишь вспомогательный инструмент для получения физического поля) или 2) искать другие объяснения, желательно такие, которые не опираются на особое свойство векторного потенциала.

Была проведена некоторая интригующая работа по возможности классического объяснения сдвига БА, см., например, статьи Тимоти Бойера, который утверждает, что существует классическое ЭМ-взаимодействие между электронами и металлическим соленоидом, что предполагает, что объяснение может быть гораздо более обширным. классические и не требующие специальных свойств векторного потенциала:

https://philpapers.org/rec/BOYCEA

https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1003602524894