Нарушает ли магнитный монополи U(1)U(1)U(1) калибровочную симметрию?

Нет, магнитный монополь в стиле струны Дирака не «нарушает» калибровочную симметрию. Скорее утверждение «у нас есть магнитный монополь» означает лишь то, что мы вынуждены рассматривать калибровочную теорию не на всем пространстве-времени, а на пространстве-времени с удаленным расположением магнитного монополя. Почему? Поскольку в месте расположения магнитного монополя дивергенция магнитного поля не обращается в нуль (у него там есть источник/сток!), отсюда и уравнение, позволяющее определить калибровочное поле, а именно$\mathrm{d}F = 0$, не выполняется.

Однако она верна везде, поэтому мы рассматриваем калибровочную теорию пространства с удаленной одной точкой. Но$\mathbb{R}^3 - \{0\}$гомотопически эквивалентна сфере$S^2$, что топологически нетривиально — вы не можете сжать сферу или$\mathbb{R}^3-\{0\}$плавно до точки, потому что монополь «мешает». Это не настоящий дефект пространства-времени, а просто следствие того, что мы «спасаем» калибровочное описание, хотя монополь запрещает нам делать это глобально. Это дефект калибровочной теории .

Локальное описание на сфере$S^2$проще всего получить, просто взяв два локальных калибровочных поля, определенных на полусфере, перекрывающихся на экваторе, и мы получим глобально согласованное решение, задав калибровочное преобразование на перекрытии, которое склеит локальные решения вместе ¹ , что является просто круг -$\mathrm{U}(1)$опять таки. Итак, мы должны дать гладкую карту$\mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1)$из круга в себя. Такие карты просто даются наматыванием круга$n$раз вокруг себя, если вы пишете$\mathrm{U}(1) = \{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \vert \phi\in[0,2\pi)\}$, то функция перехода$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mapsto\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\phi}$. Эта функция перехода полностью характеризует расслоение, поэтому теперь$\mathbb{Z}$различные структуры расслоения, которые могут возникнуть. $n\in\mathbb{Z}$просто характеризует монополь как имеющий магнитный заряд$\frac{2\pi}{e}n$.

Итак, «струна Дирака» — это просто артефакт, возникающий, когда мы пытаемся вытеснить глобальное решение из локальных. Если вы возьмете решение для одного из полушарий и расширите его настолько далеко, насколько сможете, вы обнаружите, что можете распространить его на все, кроме противоположного полюса. Если мы «обратно превратим» сферу в$\mathbb{R}^3-\{0\}$, то полюс (как и все точки) превращается в луч, начинающийся в месте монополя. На этом луче, соответствующем полюсу, решение не определено — это знаменитая струна Дирака. Но напомним, что у нас было другое локальное решение — если их снова склеить (или переключаться между ними по мере необходимости), мы получим описание всего$\mathbb{R}^3 - \{0\}$, и струна Дирака исчезает. Квантование как$\frac{2\pi}{e}$ибо магнитный заряд возникает из-за того, что этот артефакт должен быть необнаружимым в локальных растворах и, следовательно, не должен вызывать физических последствий, и только для этих магнитных зарядов эффект Ааронова-Бома от такого луча исчезает.

Склейка локальных решений на самом деле является конструкцией главного расслоения без явного упоминания так называемой конструкции расслоения по коциклам . Если у нас есть глобальное решение, то нам не нужна склейка, и мы выбираем$n = 0$, что соответствует тривиальному расслоению и отсутствию магнитного монополя, поскольку тогда решение, в принципе, распространяется на все$\mathbb{R}^3$и мы устроили целую чушь ни о чем.

^{1 Технически склейка работает следующим образом — выполните преобразование склейки$\chi : S^1 \to \mathrm{U}(1)$и два локальных решения$A_1,A_2$и установить$A_2 = A_1 + \mathrm{d}\chi$. Вернее, посмотрите на свои локальные решения и найдите$\chi$чтобы это работало.}