Вывести плотность тока вероятности - несоответствие в 2 раза [закрыто]

Чтобы получить плотность тока вероятности для частицы в электромагнитном поле, мы вычисляем ∂ р ∂ т "=" ∂ ∂ т ( Ψ * Ψ ) "=" ∂ Ψ * ∂ т Ψ + Ψ * ∂ Ψ ∂ т

ЧАС есть, если мы подставим в − я ℏ ∇ для п → :

ЧАС "=" 1 2 м ( п → − д с А ) ⋅ ( п → − д с А ) + д ф "=" 1 2 м ( − я ℏ ∇ − д с А ) ⋅ ( − я ℏ ∇ − д с А ) + д ф "=" 1 2 м ( я ℏ ∇ + д с А ) ⋅ ( я ℏ ∇ + д с А ) + д ф

Уравнение Шредингера и его комплексное сопряжение:

∂ Ψ ∂ т "=" ЧАС Ψ я ℏ

∂ Ψ * ∂ т "=" ( ЧАС Ψ ) * − я ℏ

Заменить в:

∂ р ∂ т "=" − 1 я ℏ [ ( ЧАС Ψ ) * Ψ − Ψ * ( ЧАС Ψ ) ]

Замена в ЧАС :

∂ р ∂ т "=" − 1 я ℏ { ( [ 1 2 м ( + я ℏ ∇ + д с А ) ⋅ ( + я ℏ ∇ + д с А ) + д ф ] Ψ ) * Ψ − Ψ * ( [ 1 2 м ( + я ℏ ∇ + д с А ) ⋅ ( + я ℏ ∇ + д с А ) + д ф ] Ψ ) }

Примените комплексное сопряжение:

∂ р ∂ т "=" − 1 я ℏ { ( [ 1 2 м ( − я ℏ ∇ + д с А ) ⋅ ( − я ℏ ∇ + д с А ) + д ф ] Ψ * ) Ψ − Ψ * ( [ 1 2 м ( + я ℏ ∇ + д с А ) ⋅ ( + я ℏ ∇ + д с А ) + д ф ] Ψ ) }

ФОЛЬГА:

∂ р ∂ т "=" − 1 я ℏ { ( [ 1 2 м ( я ℏ я ℏ ∇ 2 + ( − я ℏ ) ∇ ⋅ ( д с А ) + ( д с А ) ⋅ ( − я ℏ ) ∇ + д 2 с 2 А 2 ) + д ф ] Ψ * ) Ψ − Ψ * ( [ 1 2 м ( я ℏ я ℏ ∇ 2 + я ℏ ∇ ⋅ ( д с А ) + ( д с А ) ⋅ ( я ℏ ∇ ) + д 2 с 2 А 2 ) + д ф ] Ψ ) }

Умножить все:

∂ р ∂ т "=" − я ℏ 2 м ( ∇ 2 Ψ * ) Ψ + 1 2 м ( ∇ ⋅ д с А ) Ψ * Ψ + 1 2 м ( д с А ) ⋅ ( ∇ Ψ * ) Ψ + − 1 я ℏ 1 2 м д 2 с 2 А 2 Ψ * Ψ + − 1 я ℏ 1 2 м д ф Ψ * Ψ + ( Ψ * ) 1 2 м ( я ℏ ) ( ∇ 2 Ψ ) + ( Ψ * ) 1 2 м ∇ ⋅ ( д с А ) Ψ + ( Ψ * ) 1 2 м ( д с А ) ⋅ ( ∇ Ψ ) + 1 я ℏ ( Ψ * ) 1 2 м д 2 с 2 А 2 Ψ + 1 я ℏ 1 2 м ( Ψ * ) д ф Ψ

Условия, содержащие ф и д 2 с 2 А 2 отменить и есть факт, что Ψ ∇ 2 Ψ * − Ψ * ∇ 2 Ψ "=" ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * − Ψ * ∇ Ψ ) , так

∂ р ∂ т "=" − я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * − Ψ * ∇ Ψ ) + 1 2 м ( ∇ ⋅ д с А ) Ψ * Ψ + 1 2 м ( д с А ) ⋅ ( ∇ Ψ * ) Ψ + ( Ψ * ) 1 2 м ∇ ⋅ ( д с А ) Ψ + ( Ψ * ) 1 2 м ( д с А ) ⋅ ( ∇ Ψ )

Обратите внимание, что из 5 терминов 2-й и 4-й одинаковы, поэтому

(1) ∂ р ∂ т "=" − я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * − Ψ * ∇ Ψ ) + д м с ( ∇ ⋅ А ) Ψ * Ψ + д 2 м с А ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * ) + д 2 м с А ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ )

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current сообщает нам, что окончательный результат должен быть ∂ р ∂ т "=" − ∇ ⋅ Дж и что

Дж "=" 1 2 м [ ( Ψ * п ^ Ψ − Ψ п ^ Ψ * ) − 2 д с А | Ψ | 2 ]

или используя п ^ "=" − я ℏ ∇ ,

Дж "=" 1 2 м [ ( Ψ * ( − я ℏ ∇ ) Ψ − Ψ ( − я ℏ ∇ ) Ψ * ) − 2 д с А | Ψ | 2 ]

Дж "=" − я ℏ 2 м ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) − 1 2 м 2 д с А | Ψ | 2

Дж "=" − я ℏ 2 м ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) − д м с А | Ψ | 2

Применение ∂ р ∂ т "=" − ∇ ⋅ Дж ,

∂ р ∂ т "=" − ∇ ⋅ [ − я ℏ 2 м ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) − д м с А | Ψ | 2 ]

∂ р ∂ т "=" я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) + д м с ∇ ⋅ ( А | Ψ | 2 )

Применить личность о ∇ работая со скаляром, умноженным на вектор, на https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities ∇ ⋅ ( ф Б ) "=" Б ⋅ ∇ ф + ф ( ∇ ⋅ Б ) (буквы поменяла),

∂ р ∂ т "=" я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) + д м с ( А ⋅ ∇ ( Ψ * Ψ ) + ( Ψ * Ψ ) ( ∇ ⋅ А ) )

Правило продукта:

∂ р ∂ т "=" я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) + д м с ( А ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ ) + А ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * ) + ( Ψ * Ψ ) ( ∇ ⋅ А ) )

∂ р ∂ т "=" я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) + д м с А ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ ) + д м с А ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * ) + д м с ( Ψ * Ψ ) ( ∇ ⋅ А )

Переставьте некоторые члены так, чтобы мы могли сравнить с уравнением (1):

∂ р ∂ т "=" я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) + д м с ( Ψ * Ψ ) ( ∇ ⋅ А ) + д м с А ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * ) + д м с А ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ )

Теперь мы очень близки к уравнению (1),

(1) ∂ р ∂ т "=" − я ℏ 2 м ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * − Ψ * ∇ Ψ ) + д м с ( ∇ ⋅ А ) Ψ * Ψ + д 2 м с А ⋅ ( Ψ ∇ Ψ * ) + д 2 м с А ⋅ ( Ψ * ∇ Ψ )

но отклоняются от некоторых факторов 2 . Вы видите ошибку в моих действиях?

Я голосую за то, чтобы закрыть этот вопрос как не относящийся к теме, потому что этот вопрос, похожий на домашнее задание, относится к типу «проверь мою работу», что явно не по теме.
Спросите о «умножить это», и я напишу этот первый термин как Ψ ∂ т ( Ψ * ) вместо ( ∂ т ( Ψ * ) ) Ψ чтобы не запутаться в том, какие операторы воздействуют на какие. Или просто не выбрасывайте скобку, если она есть, то она вам нужна. И научиться проверять свою работу очень важно, все иногда делают ошибки, но вы должны быть в состоянии пройти через это и проверить, чтобы сделать это правильно.
@Timaeus: я не редактировал исходный вопрос. Я только что вернулся к просмотру ваших последних комментариев сегодня. Я очень ценю ваш анализ.

Ответы (1)

Вы видите ошибку в моих действиях?

Да, я вижу концептуальную ошибку. Так что я буду говорить об этом.

∂ р ∂ т "=" ∂ ∂ т ( Ψ * Ψ ) "=" ∂ Ψ * ∂ т Ψ + Ψ * ∂ Ψ ∂ т

должно быть ∂ р ∂ т "=" ∂ ∂ т ( Ψ * Ψ ) "=" Ψ ∂ ∂ т Ψ * + Ψ * ∂ ∂ т Ψ

потому что ∂ т является оператором, поэтому справа от него должны быть только те элементы, на которые он действует. Потому что вы можете вспомнить это сейчас, но позже вы забудете и совершите ошибку. Плюс в любом случае будет слишком много скобок.

Теперь посмотри на

ЧАС "=" 1 2 м ( п → − д с А ) ⋅ ( п → − д с А ) + д ф "=" 1 2 м ( − я ℏ ∇ − д с А ) ⋅ ( − я ℏ ∇ − д с А ) + д ф

что равно

1 2 м ∑ Дж ( ( я ℏ ∂ Дж + д с А Дж ) ( я ℏ ∂ Дж + д с А Дж ) ) + д ф .

И это операторы, один справа действует на вещи, затем следующий действует на результат этого и так далее. Думайте о них как о матрицах. Не воображайте никаких векторов или скалярных произведений, не начинайте думать, что что-то (что-либо) является скаляром, и не начинайте менять порядок чего-либо. Если вы не можете обосновать это, если это будет матрица, то не делайте этого. Просто относитесь к ним как к матрицам. Даже скалярное поле типа А Дж сначала он должен что-то умножить, затем производная должна воздействовать на этот продукт (с правилом продукта), иначе вы делаете это неправильно.

Я пытался быть более строгим в соблюдении порядка умножения, как вы сказали, но не смог решить проблему. Я задал вопрос на форуме физики. TSny отмечает, что при переходе от выражения после «Применить сложное сопряжение:» к выражению после «ФОЛЬГА:» я должен применить некоторые из ∇ операторы как для А а также следующее Ψ или Ψ * . По сути, это добавляет 2 термина, которые заполняют «недостающие вещи».
Я не удивлюсь, если выяснится, что мой законченный вывод окажется неверным, если рассматривать его строго так, как вы описываете. Но это (фикс Цного) целесообразно для дилетанта. Большое спасибо за то, что любезно ответили на этот длинный вопрос и объяснили критическую поправку к тому, как я рассматриваю математику квантовой механики.
@ a00 Когда вы подаете заявку справа налево, правило продукта дает вам дополнительные условия. У нас в SE есть политика против проверки моих рабочих вопросов, поэтому я пытался придерживаться концепции, которая, как мне казалось, вызывала проблему. Во время фольги у вас все еще может быть достаточно скобок, но умножать их вы определенно не будете.
О, так это правая на левую ассоциативность математики операторов, которая является основной причиной. Вы добавили «почему» к «как»; Спасибо. Теперь я понимаю, что проверка моих рабочих постов — это не то, для чего предназначен этот StackExchange.
@ a00 И именно поэтому я не так подробно рассказал о вашей ошибке, как вы могли бы надеяться, но теперь вы знаете важную концепцию при работе с операторами и особенно с дифференциальными операторами. Убедитесь, что каждый из них действует первым, тот, что справа, действует первым, затем тот, что рядом с ним, а также действует на результат более ярких. Таким образом, необходимо использовать правила продукта.
Вывести плотность тока вероятности - несоответствие в 2 раза [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v