Есть ли топологическая разница между электрическим монополем и магнитным монополем?

Разница между ними возникает потому, что уравнения Максвелла, хотя и выглядят совершенно «равными», на самом деле не все имеют одинаковую природу, когда мы формулируем электромагнетизм в терминах потенциала. Если вы думаете о$F$в качестве динамической переменной, то

Гораздо более естественно, чтобы магнитные заряды обращались в нуль, т.е.$\mathrm{d}F = 0$. Тогда локально по лемме Пуанкаре существует потенциал 1-формы$A$с$\mathrm{d}A = F$, и имеется довольно естественный лагранжиан Янга-Миллса с$A$в сочетании с выходом по току$\mathrm{d}{\star}F = j_\text{el}$когда$A$рассматривается как динамическая переменная. Важным наблюдением является то, что в этой лагранжевой формулировке$\mathrm{d}F = 0$не является уравнением движения. Это тождество Бьянки, просто вытекающее из определения $F$быть производной потенциала$A$, и поэтому невозможно связать теорию электрического потенциала$A$к магнитному току. Как вы уже упоминали, введение магнитных монополей в эту калибровочную теорию требует «топологической уловки», где мы должны исключить положение монополя из рассматриваемого нами пространства-времени, чтобы спасти$\mathrm{d}F = 0$и, таким образом, описание с точки зрения$A$, см. также этот мой ответ .

Теперь вы можете сказать, что с тех пор, как мы представили$A$основанные на уравнениях Максвелла, а они совершенно симметричны, в магнитном заряде нет ничего фундаментального, что делает его тем, который должен описываться таким топологическим способом вместо электрического заряда. Мы можем переключиться$F$а также${\star}F$, т. е. изменение, которое мы рассматриваем как фундаментальную величину и которое как двойственное по Ходже, и определяем вместо этого состояние «по умолчанию» нашей калибровочной теории как состояние, в котором электрические заряды отсутствуют, так что мы имеем магнитный потенциал$B$с$\mathrm{d}\mathrm{d}B = \mathrm{d}{\star}F = 0$.

Но поскольку в нашем повседневном мире так много электрических зарядов, а магнитных нет, это ужасно неэффективно.

Это лучше всего понять с точки зрения дифференциальных форм, но расплывчато, разница в том, что$\mathbf E = -\nabla \varphi$градиент, но$\mathbf B = \nabla\times \mathbf A$является завитком.

Если$A$- калибровочный потенциал, напряженность поля - связанная кривизна$F = dA + A \wedge A = dA$где для второго равенства я ограничиваю обсуждение электромагнетизмом, т. е.$U(1)$калибровочная группа, так что$A \wedge A = 0$.

В$3+1$размеры, выбирая инерциальную систему отсчета с временной координатой$t$, 2-форма F может быть выражена как

(Это соответствует обычному выражению компонент тензора поля,

Теперь мы видим, что$dF = 0$соответствует

Это утверждения о том, что 1-форма$E$и 2-форма$B$закрыто. Глобальный скалярный (векторный) потенциал существует, если они точны, т.е.$E = -d\phi$для aa 0-формы (скалярной)$\phi$, а также$B = d\tilde{A}$для 1-формы$\tilde{A}$. Замкнутость всегда необходима для точного, но то, что замкнутость достаточна для точного, является топологическим свойством. закрытый$n$-форма является точной, если$n$:-е когомологии де Рама$H^n_\text{dR}$пространства исчезает.

Теперь, для$\mathbb R^3 -\{0\}$,$H^1_\text{dR} = 0$(это эквивалентно простому соединению), но$H^2_\text{dR} \neq 0$. Таким образом, есть разница между электрическими и магнитными корпусами.

TL;DR:$\mathbf B$это завиток, но$\mathbf E$является градиентом, и они топологически различны, и это затемняется тем, что мы не мыслим в терминах дифференциальных форм.

Ну, одно отличие - калибровочный 4-потенциал$A_{\mu}$в Э&М.

1. С одной стороны, заряд электрического монополя (т. е. распределение заряда в форме дельта-распределения Дирака) согласуется с (возможно, сингулярным) калибровочным 4-потенциалом.$A_{\mu}$(например, кулоновский потенциал) в монопольном положении${\bf r}$. Нет необходимости работать с проколотой топологией$\mathbb{R}^3\backslash \{{\bf r}\}$.

2. С другой стороны, магнитный монополь Дирака несовместим (даже в распределительном смысле!) с калибровочным 4-потенциалом$A_{\mu}$на монопольном положении${\bf r}$. Обязательно введение нетривиальной топологии и/или струн Дирака.

Возможно, следует подчеркнуть, что настоящие магнитные монополи (которые до сих пор экспериментально не наблюдались) считаются монополями т Хофта — Полякова, а не монополями Дирака, ср. мой ответ Phys.SE здесь .

Почему эта конструкция не нужна для «электрических монополей», т.е. электрического точечного заряда, подобного электрону?

Это не вопрос необходимости, но уместно поразмыслить, почему эту конструкцию раньше не воспринимали всерьез. И это относится к вашему последнему комментарию.

Я никогда не видел обсуждения в топологических терминах электрического точечного заряда, такого как электрон, и поэтому мне было интересно, почему они всегда вводятся только для магнитных монополей.

Действительно, есть статья, в которой в топологических терминах обсуждаются электрические точечные заряды. « Квантование заряда без магнитных монополей: топологический подход к электромагнетизму ».

Полное раскрытие: я автор этой статьи.

Как-то при описании тензора электромагнитного поля$F$как дифференциал$2$-формы в пространстве-времени Минковского, «электрическое поле» сочетается с дифференциалом времени, например, это можно найти в статье « Двумерные формы на четырехмерных многообразиях и эллиптические уравнения » Дональдсона или в статье « О некоторых недавних взаимодействиях между Математика и физика » Ботта или даже в ответе Робина Экмана .

И этот дифференциал$2$Предполагается, что -форма представляет кривизну некоторой связи. Обычно$U(1)$калибровочное описание теории.

Априори для такого выбора нет физической причины, особенно если принять во внимание, что разделение электромагнитного тензора на электрическую и магнитную части является произвольным и нефизическим (оно зависит от конкретного выбора системы отсчета).

Однако, как показано в 1 , отсутствие доказательств существования магнитных полюсов (и успех теории Максвелла, не учитывающей их), а также квантованность электрических зарядов (экспериментальный факт, обнаруженный Милликеном и Флетчером в 1909 г. , и легко воспроизводится во вводных лабораторных курсах) поддерживают и указывают, что предпочтительнее рассматривать двойную ложку$F$как искривление некоторой связи. Это эквивалентно соединению «магнитного поля» с разницей во времени при сравнении его с другими цитируемыми статьями.

Хотя нет необходимости рассматривать электрические полюса с помощью топологии, как это делают с магнитными полюсами, это может быть уместным и «правильным» способом взглянуть на них, поскольку он дает объяснение квантования электрического заряда без необходимости обращаться к магнитным полям. полюса и квантовая механика.

Из книги «Топология, геометрия и калибровочные поля — взаимодействия» Грегори Л. Набера, раздел 2.2 Электромагнитные поля, стр. 55, первый класс Черна, удовлетворяющий теории Максвелла, тривиален. т.е. электрический заряд не кодирует топологию пространства-времени.