Волновая функция вращения/вкуса протона

Обратите внимание, что Гриффитс очень тщательно подходит к каждому из этих терминов.

$$udu ~~\Leftrightarrow~ \uparrow \downarrow \uparrow,$$ и если вы сопоставите оба термина одновременно, вы получите два переворота знака: $$(\downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow)\otimes (duu - udu) = (-1)^2 (\uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow)\otimes(udu - duu)$$ и с тех пор $(-1)^2 = 1$это не проблема.

Итак, реальный вопрос, который вы задаете, заключается в том, почему мы должны соответствовать этим терминам? И это хороший вопрос, и он связан с тем, как все три термина взаимодействуют друг с другом (изменение знака на любом отдельном термине ничего не делает для согласованности или несогласованности).

Таким образом, выражение принимает форму «мы собираемся вставить некоторые$u_\uparrow$состояние в дважды антисимметризованное 2-кварковое состояние

$$d_\downarrow u_\uparrow - d_\uparrow u_\downarrow - u_\downarrow d_\uparrow + u_\uparrow d_\downarrow,$$ потому что мы знаем, что у нас есть два $\uparrow$спины и два $u$кварков, и поэтому один из этих ап-кварков должен находиться в состоянии со спином вверх». $1^\text{st}\leftrightarrow2^\text{nd}$поменять местами приведенное выше на самом деле симметрично, причем последний член является в точности первым членом, в котором две частицы меняются местами.) Теперь выражение выбирает симметричную вставку этого $u_\uparrow$кварк в первой позиции, во второй позиции и в третьей позиции, так что результат здесь все еще будет симметричным и станет антисимметричным после поправки на цветовой заряд.

Следовательно, то, что вы предлагаете, переворачивая знак первого члена, не является симметричной вставкой этого$u_\uparrow$кварк в каждом из трех мест, но вставив его в первую очередь с фазовым сдвигом на 180 градусов. И это, естественно, не будет должным образом симметричным здесь или антисимметричным впоследствии.

Ваш текст, с которым я не знаком, возможно, оказал некоторым своим читателям медвежью услугу, вытащив удары из нижней строки вашей формулы, пытаясь сэкономить место. Записав условия перестановки, вы получите полную волновую функцию протона:

$$\frac{1}{\sqrt{18}} ~ (2 u\uparrow ~ u\uparrow ~ d\downarrow - u\uparrow ~ u\downarrow ~ d\uparrow -u\downarrow ~ u\uparrow ~ d\uparrow \\ +2 u\uparrow ~ d\downarrow ~ u\uparrow - u\downarrow ~ d\uparrow ~ u\uparrow-u\uparrow ~ d\uparrow ~ u\downarrow \\ + 2d\downarrow ~u\uparrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\downarrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\uparrow ~ u\downarrow ).$$ Вы можете проверить непосредственно, проверив!, что это полностью симметрично относительно перестановки 1-2-кварков, а также 2-3-кварков, а также 3-1-кварков. Поскольку позиции 1, 2, 3 являются заполнителями для индексов цвета, которые антисимметричны («вне сцены»), все кварки, как и настоящие фермионы, полностью антисимметричны между собой. Подтвердите, что это уникальная конфигурация состава для состояния протона со спином вверх.

Полная симметрия вышеприведенной волновой функции является иллюстрацией привлекательности (Gürsey-Radicati-Sakita, 1964) ароматического вращения SU(6) среди специалистов в этой области: это всего лишь компонент 56 ирреатива этого вспомогательная группа», которая является полностью симметричным представлением, резко контрастирующим с представлениями спина SU(2) , аромата SU(3) и его конкретной подгруппы SU(2) (изоспина). См. ниже.

---

Ваше возможное замешательство вызвано беспорядком различных частей, которые, подобно судоку, сговорились дать этот простой ответ, который может проиллюстрировать для вас преображающую мистику, которую эта структура имела в полевых условиях полвека назад, когда Гелл-Манн открыл ее для мир... в его безумии была методичность, и мысли на правильном языке, это имело смысл, но не такой, как его ожидали несколько десятилетий.

Что на самом деле происходит, так это то, что волновая функция имеет смешанную симметрию в пространстве спинов и пространстве ароматов (восьмеричный способ или изопспин, здесь), при этом будучи симметричной в комбинации этих двух. На самом деле повторения соответствующих компонентов являются редуцируемыми (но, как вы видели выше, они объединяются, чтобы произвести части простого неприводимого повторения выше — это точка обобщения , «великий синтез», как обычно выражалась MGM).

В частности, если вы посмотрите на 1-2 обмены частицами в (5.62),$\psi_{12}$(спин) антисимметричен (спиновый синглет, составленный со спиновым дублетом для 3-го кварка); но он умножается на аромат антисимметричный$\psi_{12}$(изопин), чтобы получить перестановочный симметричный кусок.

Смотри: при таком же обмене две другие части с очень разными повторениями вращения и изоспина вращаются друг в друге, образуя симметрию, как ты видел выше, а именно

$$\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) + \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) \leftrightarrow \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) +\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) .$$ Их подходящие куски укладываются в спин-триплеты и изотриплеты! (Встроенный в аромат SU(3) , это будет включать октет смешанной симметрии 8 барионов: вот почему у него есть эта забавная Г-образная таблица Юнга, если вы знакомы с учетом симметрии, которую они обеспечивают.)

Нет свободы корректировать знаки между различными компонентами, сохраняя при этом полную симметрию между 1, 2 и 3.

---

Побочное замечание (формальная придирка): поскольку странные кварки не задействованы, рассматриваемая подгруппа SU(6) на самом деле является просто SU(4) (Вигнер, 1937), в симметричное 20- представление которой также входит указанная выше волновая функция протона. Под его подгруппой спина x изоспина$SU(2)\times SU(2)$,${\mathbf 20}=({\mathbf 2},{\mathbf 2})\oplus({\mathbf 4},{\mathbf 4})$, где первый член представляет собой протон-нейтронный изодублет, спин-дублет, одно из 4 состояний которого представляет эта волновая функция; а второй - барион Δ, изоквартет спин-квартета в восьмикратном барионном декуплете.