Волновая теория Гюйгенса неприменима к лазерам или параллельным пучкам света?

Это не правильно. Широкая область (ширина$\gg\lambda$) многих равномерно распределенных синфазных излучателей сферических волн, подобных гюйгенсовскому эквиваленту поперечного сечения лазерного луча, ведет себя как фазированная антенная решетка, в результате чего деструктивная интерференция между излучателями подавляет излучение, значительно отклоняющееся от луча, и усиливает излучение вдоль луча. Таким образом, вы действительно получаете сколь угодно узкие лучи из теории Гюйгенса.

Вы можете подумать, что эта теория плохо работает с однонаправленно распространяющимся лучом . Если мы заменим поперечное сечение лазерного луча в фазе сферическими излучателями, узкий луч будет излучаться как вперед, так и назад (например, фазированная антенная решетка). Здесь нужно использовать фактор наклона, чтобы восстановить однонаправленность. Теория Френеля-Гюйгенса умножает сферическую диаграмму направленности на$\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$, куда$\theta$угол между направлением распространения и линией, соединяющей центр волнового фронта Гюйгенса и рассматриваемую точку.

Если вы посмотрите на интеграл дифракции Гюйгенса-Френеля по ссылке в Википедии выше, то рассмотрите поперечное сечение луча$B$в$x-y$плоскость, а затем и точка$P$с координатами$(x, y, z)$в дальнем поле ( т.е. так, чтобы$R = \sqrt{z^2+y^2+z^2} \gg w$, куда$w$— максимальная ширина поперечного сечения луча, то гюйгенсова суперпозиция сферических излучателей, разбросанных по$B$вызовет возмущение в$P$из:

$$\int_B \frac{\exp\left(i\,k\,\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}\right)}{\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}}\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime\approx$$ $$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime$$

куда$h\left(x^\prime,y^\prime\right)$представляет любую аподизацию и аберрацию луча (изменение интенсивности и фазу соответственно), и я просто вытащил знаменатель из интеграла: это оправдано, потому что, как пропорция самого себя,$\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}$не сильно различается для$\left(x^\prime,y^\prime\right)\in B$в качестве$R\rightarrow\infty$, но, поскольку число длин волн сильно варьируется, мы должны сохранить числитель. Таким образом, мы видим два результата:

1. Выражение симметрично в$z$, т . е. одно и то же возмущение распространяется как назад, так и вперед, так что луч не распространяется в одном направлении. Вот почему Френель ввел свой коэффициент наклона$K(\chi)$убрать обратно распространяющуюся волну;
2. Поперечное сечение луча в дальней зоне определяется преобразованием Фурье поперечного сечения луча при$B$, но с масштабным коэффициентом$\frac{k}{R}$в аргументе преобразования Фурье, т.е. как только мы получим разумное расстояние от поперечного сечения в$z=0$, «форма» спроецированного луча не меняется — она всегда равна преобразованию Фурье луча при$z=0$, но та же форма расширяется на коэффициент, пропорциональный$R$.

Эта дифракционная схема называется дифракцией Фраунгоффера . Таким образом, дифрагированный пучок можно сфокусировать в дальней зоне, если поперечное сечение$z=0$широкий. С помощью преобразования Фурье существует обратная зависимость между шириной луча при$z=0$и то в дальнем поле. Именно так ведет себя высококачественный лазерный луч — вы всегда получите расширение, пропорциональное$R$- единственный способ избежать этого - иметь плоскую волну бесконечной протяженности.

Чтобы получить некоторое представление о результате, обратите внимание на то, что приведенная выше теория дает дифракцию гауссова луча, определяемую следующим образом:

$$h\left(x^\prime,y^\prime\right) = \exp\left(-\frac{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}{2\sigma^2}\right)$$

дифрагированный результат в точке$P=(x,y,z)$:

$$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime = \frac{\sigma^2}{R} \exp\left(-\frac{k^2 \sigma ^2 \left(x^2+y^2\right)}{2 R^2}\right)$$