Вопрос о лагранжианах f(R)f(R)f(R)

Question

Вопрос о лагранжианах f(R)f(R)f(R)

Джозеф Дьюдни

Рассмотрим класс лагранжианов, известный как $f(R)$ Лагранжианы , где лагранжиан - это некоторая функция $f(R)$ ,

С "=" \int \sqrt{г} г^{4} Икс ф (р)

$\begin{equation} S=\int\sqrt{g}d^4x\ f(R) \end{equation}$ предполагая, что нет (или игнорируя) граничных членов, можно найти

дельта С "=" \int \sqrt{г} г^{4} Икс (- \frac{1}{2} г_{мю ν} ф (р) + ф^{'} (р) р_{мю ν} - (\nabla_{мю} \nabla_{ν} - г_{мю ν} ◻) ф^{'} (р)) дельта г^{мю ν} .

$\begin{equation} \delta S=\int\sqrt{g}d^4x\left(-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}f(R)+f'(R)R_{\mu\nu}-\left(\nabla_\mu\nabla_\nu-g_{\mu\nu}\Box\right)f'(R)\right)\delta g^{\mu\nu}. \end{equation}$ Предполагать

f (R) = g^{\frac{1}{4}} R

$f(R)=g^\frac{1}{4}R$ .

Есть ли способ определить ковариантную производную $g^\frac{1}{4}$ ?
Является $f(R)=g^\frac{1}{4}R$ правильный выбор?

Слереа

В чем проблема?

Qмеханик

Комментарий к посту (v1): Выбор например

f (R) = g^{\frac{1}{4}} R

$f(R)=g^{\frac{1}{4}}R$ не будет геометрически ковариантной теорией, потому что

f (R)

$f(R)$ больше не будет преобразовываться как скаляр, т. е. действие будет зависеть от выбора координат.

Кайл Канос

Еще

f (R)

$f(R)$ гравитация , возможно, наиболее релевантным (которого нет в этом поиске) является этот вопрос .

Кайл Канос

На самом деле, если подумать об этом еще немного, в чем здесь собственно вопрос?

Джозеф Дьюдни

Хорошо. Напишу понятнее.

ДжамалС

не будет

\nabla_{a} g^{1 / 4} = \partial_{a} g^{1 / 4}

$\nabla_a g^{1/4} = \partial_a g^{1/4}$ ?

Себастьян Ризе

Более того,

f (R) = g^{1 / 4} R

$f(R) = g^{1/4}R$ не является функцией

R

$R$ (но функция

R

$R$ и

g

$g$ ),

f (R) = R^{2}

$f(R) = R^2$ или

f (R) = \sin (R)

$f(R) = \sin(R)$ являются функциями

R

$R$ .

Райан Унгер

@JamalS Нет, так как

g^{1 / 4}

$g^{1/4}$ не является скаляром.

Ответы (1)

Вопрос о лагранжианах f(R)f(R)f(R)

Комментарий к посту (v1): Выбор например $f(R)=g^{\frac{1}{4}}R$ не будет геометрически ковариантной теорией, потому что $f(R)$ больше не будет преобразовываться как скаляр, т. е. действие будет зависеть от выбора координат.
Еще $f(R)$ гравитация , возможно, наиболее релевантным (которого нет в этом поиске) является этот вопрос .
На самом деле, если подумать об этом еще немного, в чем здесь собственно вопрос?
Более того, $f(R) = g^{1/4}R$ не является функцией $R$ (но функция $R$ и $g$ ), $f(R) = R^2$ или $f(R) = \sin(R)$ являются функциями $R$ .
@JamalS Нет, так как $g^{1/4}$ не является скаляром.

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v2):

Предполагая, что связь $\nabla$ совместим $^1$ с метрикой $\nabla_{\lambda}g_{\mu\nu}=0$ , затем $\nabla_{\lambda}\det g_{\mu\nu}=0$ , и поэтому, например, $\nabla_{\lambda}\left|\det g_{\mu\nu}\right|^{\frac{1}{4}}=0$ .
Выбор, например, $f(R)=\left|\det g_{\mu\nu}\right|^{\frac{1}{4}}R$ не будет геометрически ковариантной теорией, потому что $f(R)$ больше не будет преобразовываться как скаляр, т. е. действие будет зависеть от выбора координат.

--

$^1$ Соединение Levi-Civita совместимо с метрикой.

Возможно, здесь было бы уместно упомянуть, как связь Леви-Чивиты действует на (скалярные) плотности.

Вопрос о лагранжианах f(R)f(R)f(R)

Джозеф Дьюдни

Слереа

Qмеханик

Кайл Канос

Кайл Канос

Джозеф Дьюдни

ДжамалС

Себастьян Ризе

Райан Унгер

Ответы (1)

Qмеханик

Райан Унгер

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Как сделать так, чтобы два отдельных уравнения для символов Кристоффеля давали один и тот же ответ?

Проблема с повышением/понижением индексов в ковариантной производной [закрыто]

Вопрос от Шутца

Является ли метрическое тензорное поле тем же, что и ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Почему ковариантная производная метрического тензора равна нулю?

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Уравнение Якоби с распространением Ферми в книге "Крупномасштабная структура пространства-времени"

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная