Вопрос по специальной теории относительности

Ваш вопрос звучит так: если наблюдатель на Земле видит космический корабль, движущийся со скоростью v, откуда мы знаем, что наблюдатель на космическом корабле увидит Землю, движущуюся со скоростью -v?

Это известно как проблема «принципа взаимности», и это хорошая проблема в том смысле, что она поднимает следующий вопрос: «Вытекает ли принцип взаимности из основных постулатов специальной теории относительности или он является чем-то посторонним, чем-то предполагаемым, но не учтенным?» ибо в постулатах?"

Проблема давно обсуждается, и общепринятый ответ состоит в том, что «взаимность следует из принципа относительности и фундаментальных предположений об изотропии и однородности пространства». Как бы интуитивно и правдоподобно это ни звучало, подробное доказательство этого вывода не совсем просто. Чтобы понять, почему, ознакомьтесь со следующей статьей на эту тему:

В. Берци, В. Горини, "Принцип взаимности и преобразования Лоренца", J.Math.Phys. 10 , 1518-24 (1969) (pdf, не на сайте JMP)

Это всего лишь один из многих, но он даст вам хорошее представление о том, о чем идет речь.

Краткий ответ на ваш вопрос, и, вероятно, не очень удовлетворительный, будет следующим: учитывая, что единицы длины и времени одинаковы для двух наблюдателей и что пространство имеет одинаковые свойства в каждой точке по всем направлениям (однородное и изотропное) , принцип относительности говорит нам, что если наблюдатель А видит наблюдателя В, движущегося со скоростью v, то наблюдатель В должен видеть, что А совершает такое же движение в противоположном направлении. Следовательно, В должен видеть А, движущегося со скоростью -v.

В дополнение к ответу udrv , и, если оставить в стороне технические детали, есть два способа аргументировать отношения взаимности , которые усиливается от наблюдателя.$A$к$B$это повышение от$B$к$A$но с$v\mapsto-v$.

По подробным рассуждениям в послесловии мы обнаруживаем, что преобразования между инерциальными системами отсчета образуют группу, и эта группа линейно действует на аффинную координату (грубо говоря, преобразования Лоренца должны быть матричной группой, действующей на векторы-столбцы декартова пространства-времени Минковского ко -ординаты). Это следует из принципа относительности Галилея, непрерывности преобразования и предположений об однородности пространства-времени.

Итак, теперь мы предполагаем изотропию пространства и рассматриваем подгруппу ускорений в одном направлении. По пространственной изотропии зафиксируйте$x$ось должна быть этим направлением. Отсюда следует, что наша группа колинеарных бустов имеет вид:

$$\mathfrak{L}=\{\exp(\eta\,K)|\,\eta\in\mathbb{R}\}\tag{1}$$

для некоторой константы$2\times 2$матрица, характеризующая основную природу феномена буста, где члены$\mathfrak{L}$воздействовать на$2\times 1$векторы-столбцы формы$\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)$.

Теперь есть два разных допущения, которые приведут вас от (1) к отношениям взаимности:

---

Аргумент 1

Мы снова привлекаем пространственную изотропию и рассматриваем, что происходит, когда мы делаем преобразование координат$x\mapsto-x$. Пространственная изотропия требует, чтобы матрица$K$в (1) должны быть одинаковыми; только параметр быстроты может$\eta$может измениться; скажи, что это$\eta^\prime=h(\eta)$в преобразованных координатах, где$h()$есть функция, характер которой мы должны найти. При выполнении преобразования координат$x\mapsto-x$мы нашли:

$$\begin{array}{cl}&\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\\=&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&-\kappa_{t\,x}\\-\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\\ =& \exp\left(h(\eta)\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right);\;\forall\,\eta\in\mathbb{R}\end{array}\tag{2}$$

Из этого уравнения получаем, что$\kappa_{x\,x}=\kappa_{t\,t}=0$и что$\eta^\prime = h(\eta) = -\eta$(другая возможность$\eta^\prime=\eta$дает диагональ$K$матрица, которая не описывает относительное движение). Это оставляет в качестве основной формы преобразования следующее:

$$T(\eta) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\sqrt{\frac{\kappa_{t x}}{\kappa_{x t}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\\\sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\end{array}\right)\tag{3}$$

Некоторая дальнейшая алгебраическая «калибровка» формы в (3) с точки зрения расстояния со знаком в зависимости от скорости времени.$v$показывает, что:

$$v = \sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}} \tanh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\tag{4}$$

Теперь, чтобы вывести преобразование из$B$к$A$с точки зрения того, что из$B$к$A$, вы явно находите обратное преобразование, а из (1) это означает нахождение преобразования со сменой знака быстроты ($\eta\mapsto-\eta$). Но, из (4), это то же самое, что изменить знак$v$.

---

Аргумент 2

Вы также можете вывести форму (3) и (4) и, следовательно, отношение взаимности, начав с (1) и сделав предположение, что обратное преобразование такое же, как преобразование, которое мы получаем, когда мы делаем преобразование координат$t\mapsto-t$. Это то же самое, что сказать, что «прогон времени в обратном направлении» соответствует «прогону фильма относительного движения в обратном направлении». Затем вы записываете почти то же самое уравнение, что и в (2), но теперь вы знаете с самого начала ( т. е. по предположению), что$h(\eta) = -\eta$. Тогда форма (4) и отношение взаимности остаются прежними.

Если подумать, это то же самое, что рассуждать об «изотропии времени»: направление времени не должно влиять на форму матрицы повышения. Следовательно, с этой точки зрения это почти то же самое, что и аргумент 1.

---

Ссылка

Еще одна хорошая статья, помимо той, что цитируется в ответе udrv , по этому поводу:

Жан-Марк Леви-Леблон, «Еще один вывод преобразования Лоренца», Am. Дж. Phs. 44

---

Послесловие: почему матричная группа действует линейно

1. Принцип Галилея показывает, что преобразования между инерциальными системами отсчета образуют группу . Из принципа относительности Галилея можно утверждать, что множество преобразований$\mathscr{T}$между инерциальными системами отсчета вместе с композицией преобразования$\circ$вместе образуют группу$(\mathscr{T},\,\circ)$. Это связано с тем, что преобразование между двумя инерциальными системами отсчета может зависеть только от относительного движения между этими двумя системами отсчета, а не от их предполагаемого движения, относящегося к чему-либо еще (это соответствует аллегории корабля Сальвиати ) . Следовательно, композиция нескольких бустов может зависеть только от начальной и конечной точки, она не может, в частности, зависеть от того, как заключены в скобки бусты, поэтому композиция преобразований должна быть ассоциативной. Если вы далее предполагаете, что трансформационная композиция не может уничтожить информацию, то описание из фрейма$B$можно рассчитать из кадра$A$и наоборот, тогда преобразования между инерциальными системами отсчета обратимы. Поэтому,$(\mathscr{T},\,\circ)$является группой;

2. Однородность пространства-времени показывает, что группа линейно действует на аффинные координаты пространства-времени. Однородность пространства-времени вместе с подходящими предположениями о плоскостности затем показывает, что, когда вы специализируете свои координаты на аффинных (по существу декартовых без понятия угла или ортогонала), тогда акция нашей группы$(\mathscr{T},\,\circ)$должно быть линейным действием: пусть$Y=f(T\,X)$расшифровывается как: «координатный вектор аффинного пространства-времени$Y$является изображением координатного вектора аффинного пространства-времени$X$под действием$f$трансформации$T\in\mathscr{T}$на аффинных координатах». Однородность говорит о том, что наши преобразования не могут изменить форму, когда мы переносим наши координаты ни в пространстве, ни во времени: «Природе все равно, где мы поместим наше начало». Итак, для любого преобразования$T\in\mathscr{T}$, любой координатный вектор пространства-времени$X$и любое перемещение$Z$в пространстве и времени мы должны иметь$f(T,\,X+Z)-f(T,\,Z) = f(T,\,X)-f(T,\,0)$: вектор, соединяющий изображения источника$0$и$X$не изменяется, если оба конца переводятся сдвигом$Z$. Если вы сейчас определите$h_T(U) = f(T,\,U)-f(T,\,0)$, вы можете быстро показать, что$h_T(X+Y)=h_T(X)+h_T(Y)$для любых аффинных пространственно-временных координат$X,\,Y$. Это известное функциональное уравнение Коши в$\mathbb{R}^{3+1}$и вы можете показать, что единственным непрерывным решением является$h_T(X) = A_T\,X$, для некоторых$4\times4$матрица$A_T$характеризующие преобразование координат.

Я думаю, что ответ udrv попадает в самую точку, но я немного расширю интуитивный способ взглянуть на него.

В вашем примере у вас есть корабль, покидающий Землю и летящий к Нептуну с релятивистской скоростью. Хотя вы можете подумать, что корабль движется быстро, а Земля по существу неподвижна (хотя на самом деле Земля движется вокруг Солнца и вокруг Млечного пути, и сам Млечный путь движется, а специальная теория относительности не учитывала изменение скорости на всех, но мы можем игнорировать это сейчас). Вот в чем дело. Один объект движется, а другой остается неподвижным — это не то, как вы должны смотреть на вещи в специальной теории относительности. К Земле корабль удаляется, скажем, со скоростью 1/2 скорости света, а по определению к кораблю Земля удаляется со скоростью 1/2 скорости света. В системе с двумя телами (Земля и Корабль) ни один из них не может видеть, как другой удаляется быстрее, чем другой видит, как он удаляется, потому что, проще говоря, в системе с двумя телами любой из них мог двигаться. Они находятся в зеркальных ситуациях по отношению друг к другу.

Что меняется, так это восприятие Нептуна, потому что Земля видит Нептун все еще относительно Земли (конечно, игнорируя орбитальную скорость), но корабль видит и Землю, и Нептун движущимися, поэтому их восприятие Нептуна отличается.

Есть два сценария: первый, Земля и Нептун движутся от точки отсчета космического корабля, Земля от корабля, Нептун к нему, или, второй сценарий, Земля и Нептун не движутся, а движется только корабль. Оба сценария работают.

Если корабль движется, пространство перед ним сжимается, поэтому расстояние между Землей и Нептуном уменьшается. Если Земля и Нептун движутся с одинаковой скоростью, наблюдаемое расстояние до Нептуна от Земли будет таким, какое вы обычно ожидаете.

Если вы думаете о замедлении часов, то естественно думать, что скорость будет казаться выше, но замедление часов соответствует сжатию на расстоянии, а не увеличению кажущейся скорости.

Теперь, если вы посмотрите на проблему «какие временные рамки правильны», они оба правы, хотя воспринимают вещи по-разному. Это изображение как бы объясняет, что происходит.

(Источник)

Тот факт, что и Земля, и Корабль видят, что часы друг друга медленно движутся, немного парадоксальный, это объясняется по ссылке.

Если коротко ответить на ваш вопрос, то учебники обычно верны. Очень редко вы найдете учебник с ошибкой, например, если он был напечатан в Техасе на тему идей, альтернативных теории эволюции ;-) но в целом учебники верны.

Хотя это хороший вопрос.