Выведите формулу сложения скорости из преобразования Лоренца.

Поскольку все скорости являются постоянными отработками$\frac{dx^{1}}{dx^{0}}$простое деление (исчисление не требуется). Обратите внимание, что записи в вашем векторе в$S$интересующие вас значения:

Итак, у нас есть:

Деление числителя и знаменателя на$d {x^0}'$у нас есть:

Где$-$знаки отличаются от стандартной формулы, потому что ваши две скорости находятся в одном направлении.

Вы в значительной степени решили проблему самостоятельно, вы просто не поняли этого!

Если у вас есть два вектора, вы можете проецировать один на другой. Если вы ортогонально проецируете вектор пространства-времени на единичный тангенс, то длина этой проекции равна тому, сколько времени вы наблюдаете, разделяя два события. Этого может быть достаточно, чтобы сразу ответить на ваш вопрос.

Таким образом, чтобы получить среднюю скорость между двумя событиями, сначала вычислите вектор A между двумя событиями. Затем спроецируйте это A на единичный тангенс W, чтобы получить проекцию P. Тогда вектор A равен P+R с отклонением R, ортогональным проекции P. Мы получаем R из R=AP. И если мы разделим R на длину P, мы получим скорость A относительно W. Все, что я сделал, это написал все в терминах геометрии, так что базис не имел значения. Давайте сделаем это на хорошей основе, чтобы мы видели, что происходит.

Пусть W=(1,0,0,0) — это основа, благодаря которой все выглядит красиво, сопутствующая система координат W. Таким образом, если разница между двумя событиями равна A=(a,b,c,d), то проекция равно (a, 0, 0, 0), поэтому вычитание дает (0, b, c, d), и поскольку время между ними равно$a=\sqrt{(a,0,0,0)\cdot(a,0,0,0)}$получаем скорость (0,b,c,d)/a. который имеет скорость, равную его длине$\sqrt{(b^2+c^2+d^2)/a^2}.$

Итак, если вектор равен (a,b,c,d), а ваш единичный тангенс равен (1,0,0,0), то проекция равна (a,0,0,0), поэтому вычитание дает (0,b, c, d), поэтому скорость, которую вы наблюдаете, равна (0, b, c, d)/a. Это может показаться болезненно легким. Но то же самое относится к тому, кто двигается как (1,-v,0,0), они наблюдают, как вы двигаетесь со скоростью$v$и вы наблюдаете, как кто-то движется как (1,u,0,0) со скоростью u. Так как же тот, что слева, видит того, что справа? Спроецируйте, вычтите и разделите (в геометрической алгебре это в основном один шаг).

Первый шаг: спроецируйте правое на левое. (1,у,0,0)$\cdot$(1,-v,0,0) (1,-v,0,0)/$(1-v^2)$(это$\vec a\cdot \vec b \vec b / (\vec b\cdot \vec b)$проэктировать$\vec a$на$\vec b$). Итак, мы получаем$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0).

Следующий шаг: вычтите эту проекцию. (1,у,0,0)-$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0) =

($\frac{1-v^2-1-uv}{1-v^2}$,$\frac{u-v^2u+v+v^2u}{1-v^2}$,0,0)

"="$\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0).

Это вектор, ортогональный (1,-v,0,0), точно так же, как (0,b,c,d) был ортогонален (1,0,0,0).

Проверим(1,-v,0,0)$\cdot$($\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0)=$\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$-(-в)$\frac{u+v}{1-v^2}$=0. Проверять.

Человек слева думает, что человек справа проехал P=$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0) во времени (которое для человека слева является направлением времени в чистом виде) и совершила пространственное перемещение ($\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0) (которое для человека слева является чисто пространственным направлением.) Мы могли бы проверить, что они складываются в полное пространственно-временное смещение, но мы получили одно путем вычитания другого. И мы знаем окончательный ответ, поэтому нам не нужно постоянно проверять нашу работу.

Итак, давайте найдем длину этого смещения во времени (это нахождение а). Нам нужна длина P=$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0), что$\frac{1+uv}{\sqrt{1-v^2}}.$Итак, мы делим на это, чтобы получить относительный вектор скорости.

Заключительный шаг: разделить. Относительная скорость$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+uv}(\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0).

Упрощать:$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+uv}(\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0) =

$\frac{u+v}{(1+uv)\sqrt{1-v^2}}$(-v,1,0,0) длина (скорость) (u+v)/(1+uv).