Вопрос, связанный с доказательством: чтобы решения уравнения Шредингера с разделяющимися переменными были нормализуемыми, константа разделения должна быть реальной.

Question

Вопрос, связанный с доказательством: чтобы решения уравнения Шредингера с разделяющимися переменными были нормализуемыми, константа разделения должна быть реальной.

АБ

Мне нужно доказать: чтобы решения уравнения Шрёдингера с разделяющимися переменными были нормализуемыми, константа разделения должна быть вещественной.

Это можно доказать следующим образом:

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} д Икс & "=" \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) ф (т) |^{2} д Икс \\ "=" \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) е^{- я к т / ℏ} |^{2} д Икс \\ "=" \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) е^{- я (к_{р} + я к_{я}) т / ℏ} |^{2} д Икс \\ "=" е^{2 к_{я} т / ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс \end{aligned}

$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)\phi(t)|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-ikt/\hbar}|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-i(k_R + ik_I)t/\hbar}|^2 dx\\ & = e^{2k_It/\hbar}\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx\\ \end{align}$ Второй множитель (интеграл) не зависит от

t

$t$ и поэтому для того, чтобы произведение было конечной ненулевой константой, первый множитель также должен быть независим от времени, что возможно тогда и только тогда, когда

k_{I} = 0

$k_I = 0$ (т.е. если

k \in R

$k \in \mathbb{R}$ ). (КЭД)

(Здесь $k = k_R + i k_I$ (где $k_R$ и $k_I$ — действительные числа) — константа разделения и exp (константа интегрирования) от $\phi(t)$ был поглощен $\psi(x)$ . Также обратите внимание, что я использую $k$ вместо $E$ для обозначения константы разделения.)

НО мне не удалось доказать то же самое, используя уравнение 1.26, раздел 1.4, Введение в квантовую механику (2-е изд.) (Дэвид Гриффитс). Уравнение, о котором я говорю, это:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$ (если функция потенциальной энергии действительна)

Если я заменю $\Psi(x,t)$ к $\psi(x)\phi(t)$ в приведенном выше уравнении я получаю:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m} |\phi(t)|^2 (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty} = \frac{i\hbar}{2m} e^{2k_It/\hbar} (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$

Теперь не следует $\psi$ перейти к нулю, как $x$ идет к $\pm\infty$ , чтобы волновая функция была нормируемой? (Гриффитс говорит чуть ниже уравнения 1.26, что «... $\Psi(x,t)$ должен стремиться к нулю, так как $x$ идет к $\pm\infty$ - в противном случае волновая функция не была бы нормализуема". Здесь, разве это не означало бы, что $\psi(x)$ должен стремиться к нулю, так как $x$ идет к $\pm\infty$ ?) Если оно стремится к нулю, то RHS будет равно нулю независимо от того, $|\phi(t)|^2$ является константой или нет, т. е. независимо от того, действительна константа разделения или нет.

Я что-то упустил здесь?

Возможно ли, что $\psi(x)$ не стремится к нулю, когда $x$ идет к $\pm\infty$ для $k \in \mathbb{C \setminus R}$ ?

АБ

@ZeroTheHero Часть, о которой вы говорите, вероятно, та, что

k_{I}

$k_I$ . Показатель представляет собой действительное число. Я уже удалил мнимую часть.

АБ

@ZeroTheHero. Пожалуйста, проверьте еще раз. Я добавил уточнение.

бапонкар

| e x p (- i k t) |^{2} = 1

$|exp(-ikt)|^2=1$ . Либо "k" реальное, либо мнимое.

АБ

@baponkar Я предполагаю, что

k

$k$ это общее комплексное число

k_{R} + i k_{I}

$k_R+ik_I$ где

k_{R}

$k_R$ и

k_{I}

$k_I$ реальны. Так,

- i k = - i (k_{R} + i k_{I}) = - i k_{R} + k_{I}

$-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .

бапонкар

e x p (- i k t) = e x p (- i k_{R} t) . e x p (k_{I} t)

$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ;

e x p (i k t) = e x p (i k_{R} t) . e x p (- k_{I} t)

$exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .so |exp(-ik t)|^2=1.просто алгебра

Шон Э. Лейк

@baponkar ты делаешь это неправильно. Для комплексного сопряжения нужно поменять местами знаки обоих

i

$i$ с, поэтому для сложных

k

$k$ ,

| \exp (- i k t) |^{2} = \exp (2 k_{I} t)

$|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .

бапонкар

[e x p (- i k)]^{*} = e x p (i k^{*})

$[exp(-ik)]^* = exp(ik^*)$ ; где

k^{*} = k_{R} - i k_{I}

$k^*=k_R-i k_I$ !

Шон Э. Лейк

@baponkar Очень хорошо.

i k^{*} = i k_{R} + i (- i k_{I}) = i k_{R} + k_{I}

$ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Ответы (1)

Вопрос, связанный с доказательством: чтобы решения уравнения Шредингера с разделяющимися переменными были нормализуемыми, константа разделения должна быть реальной.

@ZeroTheHero Часть, о которой вы говорите, вероятно, та, что $k_I$ . Показатель представляет собой действительное число. Я уже удалил мнимую часть.
@ZeroTheHero. Пожалуйста, проверьте еще раз. Я добавил уточнение.
$|exp(-ikt)|^2=1$ . Либо "k" реальное, либо мнимое.
@baponkar Я предполагаю, что $k$ это общее комплексное число $k_R+ik_I$ где $k_R$ и $k_I$ реальны. Так, $-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .
$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ; $exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .so |exp(-ik t)|^2=1.просто алгебра
@baponkar ты делаешь это неправильно. Для комплексного сопряжения нужно поменять местами знаки обоих $i$ с, поэтому для сложных $k$ , $|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .
@baponkar Очень хорошо. $ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Шон Э. Лейк · Answer 1

Хитрость заключается в том, что ваше последнее уравнение на самом деле доказывает, что достаточным условием для того, чтобы нормализация была постоянной, является то, что чистая вероятность течет через границы (в $\pm\infty$ ) равным нулю.

Теперь, строго говоря, даже если $k_I\neq0$ волновая функция по-прежнему нормализуема - выполнение нормализации просто отменит фактор $\exp(k_It)$ , удаляя его из вашей волновой функции. Скажем, ваша исходная ненормализованная волновая функция $\Psi$ определять

\begin{matrix} (1) & Ψ_{Н} "=" \frac{Ψ}{\sqrt{\int | Ψ |^{2} д Икс}} \end{matrix}

$\Psi_N = \frac{\Psi}{\sqrt{\int |\Psi|^2 \, \mathrm{d}x}} \tag1$ и смотреть, как он исчезает.

Впрочем, это всего лишь придирка к терминологии. Настоящая проблема не в этом $\Psi$ не нормализуется, это то, что он не соответствует неустановленному граничному условию: $\Psi$ должно быть конечным для $t\rightarrow \pm \infty$ . Это граничное условие менее строгое, чем требование, чтобы $\Psi$ быть нормализованным (примечание: не нормализуемый, нормализованный), но этого достаточно для выполнения работы.

Есть, конечно, и другой путь, по которому вы можете пойти. Вы можете сосредоточиться на $x$ уравнение вместо $t$ один:

\begin{matrix} (2) & - \frac{ℏ^{2}}{2 м} ψ^{″} + В (Икс) ψ "=" к ψ . \end{matrix}

$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi'' + V(x)\psi = k \psi. \tag2$ Возьмите комплексное сопряжение (2) и назовите его (3). Умножить (2) на

ψ^{*}

$\psi^*$ и (3) по

ψ

$\psi$ затем интегрируйте обе стороны по всем

x

$x$ . Теперь вычтите пары уравнений и манипулируйте интегралами, используя интегрирование по частям, чтобы оставить только поверхностные члены (т.е. что-то в форме

[\dots]_{x = - \infty}^{\infty}

$[\ldots]_{x=-\infty}^\infty$ ). Правая сторона будет

(k - k^{*}) \int | ψ |^{2} d x

$(k - k^*) \int |\psi|^2 \, \mathrm{d}x$ . Нормируемость требует, чтобы левая часть уравнения обращалась в нуль. Правая часть может исчезнуть, только если

k = k^{*}

$k=k^*$ , кед

Эта последняя версия является примером того, как доказать, что собственные значения эрмитова оператора действительны.

Спасибо, что ответили на мой вопрос. Могу я задать вам еще один вопрос: как именно определяется нормализуемость? (И что такое нормализуемая волновая функция?) Кроме того, это на самом деле связано с проблемой во Введении в квантовую механику (2-е изд.) (Дэвид Гриффитс) — задача 2.1 просит читателя доказать, что «Для нормализуемых решений постоянная разделения должно быть настоящим».
@AB Применение уравнения (1) называется нормализацией волновой функции. Итак, нормализуемая волновая функция — это функция, к которой мы можем применить (1) без деления на ноль задач бесконечности. Слово «нормализуемый» буквально означает «способный быть нормализованным». Я подозреваю, что Гриффитс просто небрежно относится к своему использованию.
1) Не будет ли правильнее сказать: «…достаточное условие вероятности существования частицы (или вероятности нахождения частицы между $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$ ) быть постоянным означает, что чистая вероятность, протекающая через границы, равна нулю». Кроме того, разве это условие также не является необходимым? $\Psi$ должно быть конечным для $t \to \pm \infty$ 'граничное условие? Какие физические ограничения он несет? Связано ли это с обеспечением конечности $|\Psi|^2$ для всех $x$ и $t$ ?
И 3) Могу ли я сказать: «Константа разделения должна быть реальной, чтобы $\Psi$ удовлетворяет граничному условию, что ' $\Psi$ должно быть конечным для $t \to \pm \infty$ ' или так что $\Psi$ нормализуется для всех значений $t$ (как $\Psi_N$ принимает форму $\infty/\infty$ и $0/0$ для $t \to \pm \infty$ (или в другом порядке, в зависимости от того, $k_I$ положительный или отрицательный))"
@AB "Могу я сказать..." Вы можете сказать что угодно, но вы захотите обсудить со своим ассистентом и/или профессором, что они примут. 1) Будьте осторожны, там. IIRC, полная логика такова, что для $H$ чтобы быть эрмитовым, поток вероятности на границах должен обращаться в нуль, и $H$ эрмитовость подразумевает реальную постоянную. Если вы удовлетворяете этому условию и $H$ не эрмитов, нет костей.
@АВ 2) $|\Psi|^2$ не обязательно должно быть конечным для всех $x$ и $t$ . Учитывать $\exp(-|x|) / |x|^{1/3}$ . Это не конечно в $x=0$ , а в остальном вполне прилично. Точнее сказать, что $\int_a^b |\Psi|^2\, \mathrm{d}x$ должен быть конечным для любого конечного интервала $a,b\in(-\infty,\infty)$ , а нормализуемость требует, чтобы вы также разрешили бесконечный интервал. Причина, по которой я указал это как $\Psi$ конечность заключается в том, что в вашем примере $\Psi$ был бесконечен в любом месте $\psi\neq0$ . Причина, почему может быть описана с точки зрения вероятности или энергии, в зависимости от формализма.
Нормированная волновая функция ( $\Psi_N$ ), полученная с помощью уравнения (1), из волновой функции с разделяемой переменной, рассчитанной с использованием недействительной константы разделения, не удовлетворяет соответствующему уравнению Шредингера, зависящему от времени. Будет ли она по-прежнему считаться нормированной формой волновой функции с разделяемыми переменными? (Вообще-то я сейчас не прохожу курс по этому вопросу, иначе я бы обсудил это со своим ассистентом. Прошу прощения, что беспокою вас такими тривиальными вопросами.)
@AB Хороший вопрос. Но тогда я уверен, что вы можете показать это ненастоящее $k$ заставляет пространственную часть волновой функции $\psi\rightarrow 0$ как $x \rightarrow \pm \infty$ , так что это как-то спорно. (примечание: «почти уверен» означает, что я на самом деле не знаю, как это сделать в данный момент).

АБ

АБ

АБ

бапонкар

АБ

бапонкар

Шон Э. Лейк

бапонкар

Шон Э. Лейк

Ответы (1)

Шон Э. Лейк

АБ

Шон Э. Лейк

АБ

АБ

Шон Э. Лейк

Шон Э. Лейк

АБ

Шон Э. Лейк

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты