Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Question

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Дэйвид

Если у нас есть квантовая система, описываемая независимым от времени уравнением Шредингера (TISE) :

- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{д^{2} ψ}{д {Икс}^{2}} "=" Е ψ

$\begin{equation} -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=E \psi \end{equation}$

У нас есть два возможных типа решений :

Связанные состояния: это означает локализацию. Представляют собой дискретные значения энергии, называемые энергетическими уровнями. являются мнимыми экспонентами, т. е. осциллирующими функциями.
Рассеивающие состояния: это означает движение. Представляют пучки частиц. Настоящие экспоненты, то есть убывающие или восходящие функции.

Но если у нас есть квантовая система, описываемая зависящим от времени уравнением Шредингера (TDSE) :

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} Ψ (Икс, т) "=" [- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс, т)] Ψ (Икс, т)

$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x, t)\right] \Psi(x, t) \end{equation}$

Для свободной частицы решения представляют собой плоские волны (или суперпозиции плоских волн, т. е. волновые пакеты).

Что можно сказать о ее решениях в терминах связанных и рассеянных состояний?
Можем ли мы, используя анализ Фурье, гарантировать, что решения TDSE с любым потенциалом $V(x,t)$ будут плоские волны или суперпозиция плоских волн?

Ответы (1)

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Номер по каталогу · Answer 1

В теории, не зависящей от времени, различие на самом деле заключается в математическом вопросе о том, является ли спектр собственных значений гамильтониана непрерывным (рассеяние) или дискретным (связанным), что, в свою очередь, влияет на тип нормализации, который можно применить к этим собственным состояниям. В общем, спектр эрмитова оператора будет иметь комбинацию обоих (включая возможность дискретного состояния в континууме), классическим примером которого является атом водорода.

Обратите внимание, что если вы ограничитесь независимым от времени гамильтонианом, вы можете просто сделать анзац

Ψ (Икс, т) "=" ψ (Икс) Т (т)

$\Psi(x,t) = \psi(x)T(t)$

который превращает TDSE в

\frac{\hat{ЧАС} ψ (Икс)}{ψ (Икс)} "=" Е "=" я ℏ \frac{\partial_{т} Т (т)}{Т (т)}

$\frac{\hat H \psi(x)}{\psi(x)} = E = i\hbar \frac{\partial_t T(t)}{T(t)}$

Решение этой задачи дает знаменитый результат: собственные энергетические состояния эволюционируют во времени, накапливая зависящую от энергии фазу. $T(t) = \exp(-iEt/\hbar)$ , где $E$ пришли из ТИСЭ.

Полностью зависящая от времени теория более сложна. Если гамильтониан зависит от времени, как у вас, то энергия не сохраняется (локально) и уравнение Шредингера не является разделимым, что требует другого метода решения. Труднее классифицировать решения этого уравнения без некоторой конкретности, которая позволила бы использовать схему аппроксимации: если V (t) медленно меняется, можно использовать адиабатическое приближение, если V (t) слабо относительно других членов, можно использовать теорию возмущений, зависящих от времени.

Концептуально легко увидеть, как адиабатическая (т.е. очень медленная) эволюция во времени может привести к тому, что связанное состояние будет свободным, например, $V(x,t) = \frac{-H(-t) t/\tau }{2}m\omega^2x^2$ . Мы позволим $\tau \gg 1/\omega$ сказать, что V меняется очень медленно.

Если $t<0$ , это гармонический осциллятор с локализованными, связанными энергетическими собственными состояниями и четко определенным основным состоянием, в то время как при $t>0$ это свободная частица.

Это можно рассматривать как медленное выключение потенциала захвата, когда волновая функция захваченной частицы расширяется, чтобы в конечном итоге занять всю реальную линию. Точно так же энергетический спектр, когда $t<0$ дан кем-то $E_n = \hbar\frac{|t|}{\tau}\omega(n+\frac{1}{2}), n\in \mathbb{Z}$ Как $|t| \to 0$ , спектр «сгущается» в сплошной блок, соответствующий свободной частице.

скажем $V(x)$ есть кулоновский потенциал. Я могу решить TDSE и посмотреть, что происходит с волновым пакетом, взаимодействующим с этим потенциалом. Я понимаю это как рассеивающее решение УЧП. Но что, если мне нужны решения с привязанным состоянием?
Когда V (x) не зависит от времени (например, потенциал атома водорода), можно решить TISE, чтобы построить полное решение TDSE в форме $\sum_E a_E \exp(-iEt/\hbar) \psi_E(x)$ , где \psi_E(x) — собственная функция гамильтониана, а a_E — константы разложения. Это работает как для связанных, так и для континуальных решений (за исключением того, что в последнем случае сумма становится интегралом).

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Дэйвид

Ответы (1)

Номер по каталогу

Дэйвид

Номер по каталогу

Рассеяние против связанных состояний

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Полнота собственных функций энергии

Квантовое туннелирование с дельта-потенциалом

Фазовый сдвиг одномерного рассеяния (конечная яма) — нефизический?

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Почему выборочно можно полагаться на интуитивные аналоги при решении задач квантовой механики, таких как задача о ступенчатом потенциале?

Нормализация волновой функции свободной частицы