Вопросы относительно интерпретации Фейнмана-Штукельберга

Вопрос 1: Почему можно предположить, что решения с отрицательной энергией перемещаются назад во времени?

Я думаю, что есть небольшая путаница в интерпретации того, какое решение здесь какое. Что у вас есть в$ue^{imt} = ue^{-i(-E)t} = ue^{-iE(-t)}$представляет собой отрицательное энергетическое решение, идущее вперед во времени, или, что то же самое, положительное энергетическое решение, идущее назад во времени. Так же,$ue^{-imt} = ue^{-i(+E)t} = ue^{-i(-E)(-t)}$это положительное энергетическое решение, идущее вперед во времени, или отрицательное энергетическое решение, идущее назад во времени. Утверждение, о котором вы спрашиваете, вероятно, относится к «электронным состояниям отрицательной энергии, назад во времени», интерпретируемым как «позитронные состояния положительной энергии, вперед во времени».

Примечание о сопряжении заряда : в общем случае полноценное уравнение Дирака. и решения$\psi(x)$за плату$e$, масса покоя$m$, и отрицательная энергия$-E$эквивалентны преобразованием четности-заряда-времени (PCT) (не паникуйте, см. ниже) к уравнению. и решения$\psi_{PCT}(x')$за плату$-e$, масса покоя$m$и энергия$E$двигаться назад в пространстве и времени,

Вопрос 2: Если мы не предполагаем стационарность частицы и, следовательно, пространственный импульс не равен нулю, то, когда мы меняем знак у E, действительно ли мы меняем знак у pµ?

В основном правильно. $PCT$преобразование происходит следующим образом:

• Зарядовое сопряжение$C$раствора с зарядом$e$, 4-импульс$p$и (4-) спин$s$дает решение с зарядом$-e$, 4-импульс$-p$и еще (4-) вращение$s$:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow -e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t$$ Имейте в виду, однако, что спиновая поляризация для состояний с отрицательной энергией определяется с обратным знаком по сравнению с состояниями с положительной энергией. Таким образом, в теории дырок это фактически приводит к интерпретации, что отсутствие электрона с отрицательной энергией$-E$, 3-импульс$-\bf p$, и спина$\uparrow$из «наполненного моря» состояний с отрицательной энергией эквивалентно наличию позитрона с положительной энергией$E$, 3-импульс$\bf p$, и спина$\downarrow$.

• Преобразование четности (P) является пространственным отражением: оно изменяет 3-импульс$\bf p$к$-\bf p$, но не влияет на заряд, энергию или вращение:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t$$

• обращение времени$T$(т$\rightarrow -t$) переворачивает стрелу времени и направление 3-импульса$\bf p$и 3-спин$\bf s$, но не влияет на энергию или заряд:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, -{\bf s}), \;-t$$ Применительно к положительному энергетическому решению с 3-импульсом$\bf p$и вращаться$\uparrow$он дает положительное энергетическое решение 3-импульса$-\bf p$и вращаться$\downarrow$.

Учитывая это, давайте применим общее преобразование PCT к состоянию заряда электрона.$-e$, отрицательная энергия$-E$, 3-импульс$-\bf p$, и спина$\uparrow$двигаться назад во времени,

• P дает состояние заряда электрона$-e$, отрицательная энергия$-E$, 3-импульс$\bf p$, вращаться$\uparrow$, все еще двигаясь назад во времени:

  $$-e, \;(-E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow -e, \;(-E, {\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t$$

• C затем превращает электрон в позитрон с зарядом$+e$, позитивная энергия$+E$, но переворачивает 3-импульс обратно к$-\bf p$, оставив спин как$\uparrow$и стрелка времени как назад во времени:

  $$-e, \;(-E, {\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow +e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t$$

• Окончательно$T$оставляет позитрон как позитрон положительной энергии$E$, но меняет 3-импульс на$\bf p$, крутить$\downarrow$, и переворачивает стрелку времени вперед во времени:

  $$+e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow +e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, \downarrow), \;+t$$

В результате в результате преобразования ПКТ состояние заряда электрона$-e$, отрицательная энергия$-E$, 3-импульс$-\bf p$, и спина$\uparrow$движение назад во времени эквивалентно позитронному состоянию заряда$+e$, позитивная энергия$E$, 3-импульс$\bf p$, и спина$\downarrow$двигаться вперед во времени.

Так что да, 4-импульс$p$меняет знак так же, как заряд, спин и стрелка времени.

Почему можно предположить, что решения с отрицательной энергией движутся назад во времени?

Это не так. Потому что нет путешествия вперед во времени. Ни в каком реальном смысле. Чтобы оценить это, рассмотрите стазис-бокс . Это научная фантастика, но тем не менее полезная. В стазис-боксе не происходит никакого движения. Свет не движется, электрохимические сигналы не движутся, ничто не движется. Поэтому, когда я запер тебя в стазисной камере на пять лет, а потом открыл дверь, ты думаешь, что я сразу открыл ее. Вы «путешествовали в будущее», не двигаясь вообще, в то время как все остальное двигалось .

Обычно это объясняют тем, что$Et=(-E)(-t)$, однако решение$ue^{-iEt}$, где$E=-m$имеет отрицательный$E$но положительный$t$. Насколько я понимаю, мы используем фиксированную систему Лоренца, поэтому функция координат$t$здесь появляется та же функция координат времени, что и в решениях с положительной энергией, следовательно, они должны распространяться в одном и том же временном направлении.

На самом деле нет никакого направления во времени. Подумайте о том, что делают часы. Он измеряет некоторую форму кумулятивного движения, будь то движение маятника или кристалла кварца, и показывает кумулятивный результат, называемый временем. И нет такой вещи, как отрицательное движение.

Я могу себе представить, что с тех пор

$$\exp(-iEt)=\exp(-i(-E)(-t)),$$ второе выражение выглядит как ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ энергия ( $-E$здесь положительна) решение, движущееся назад во времени (но, конечно, действие оператора энергии $i\partial/\partial t$будет иметь отрицательное собственное значение энергии), но мы говорили об отрицательном энергетическом решении, путешествующем назад во времени?

Нет такой вещи, как отрицательное движение или отрицательная длина. Вы не можете уменьшить длину линейки менее чем до нуля дюймов. Такого правителя не существует. Точно так же вы не можете продолжать забирать из тела больше энергии, чем энергии в нем содержится. Нет ничего, что было бы сделано из отрицательной энергии. Энергия связывания описывает не что-то, состоящее из отрицательной энергии, а описание меньшей положительной энергии.

Если мы не предполагаем стационарность частицы и, следовательно, пространственный импульс не равен нулю, то при изменении знака$E$, действительно ли мы меняем знак$p_\mu$? Потому что, когда мы ищем спиноры античастиц как$\psi=v\exp[-i(\mathbf{p\cdot x}-Et)]$, мы НЕ одновременно меняем знак$E$и$t$, но мы только меняем знак$p_\mu$. Я не понимаю, зачем мы это делаем. Мы говорили об обратном$E$и$t$оба!

Позитрон — это обращенный во времени электрон в том смысле, что это «динамический спинор» с противоположной хиральностью. ИМХО, здесь пригодятся торовые анимации Адриана Росситера . Этот gif представляет спин ½ электрона:

Что вы можете сделать с gif, так это перевернуть его и «воспроизвести в обратном порядке». Если вы также отразите его по горизонтали, вы увидите, что теперь он имеет противоположную хиральность. Итак, этот gif представляет позитрон:

Теперь я понимаю, что эта волновая функция будет иметь оператор энергии, дающий отрицательные собственные значения для положительных$E$s, но тем не менее эти перестановки знаков кажутся мне совершенно произвольными.

Согласованный. Понимание времени имеет решающее значение ИМХО. Он не течет, он не проходит, и мы не движемся через него. См. «Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна» . Время существует, как существует тепло. Сотня лет убьет вас точно так же, как сто градусов по Цельсию. Но так же, как вы не можете буквально подняться до более высокой температуры, вы не можете на самом деле перенестись в другое время. Либо вперед, либо назад.