Возможны ли групповые представления, когда пространство решений не является векторным пространством?

Насколько я понимаю, мотивация использования теории представлений в физике высоких энергий заключается в следующем. Предположим, что теория имеет некоторую (внутреннюю или внешнюю) группу симметрии, действующую в векторном пространстве. Тогда поля, удовлетворяющие теории, должны будут преобразовываться при некотором представлении этой группы симметрии по построению.

Что произойдет, если у нас есть какая-то внутренняя или внешняя структура симметрии, которая больше не действует в векторном пространстве? На ум приходят калибровочные групповые диффеоморфизмы общей теории относительности. Есть ли какая-то более общая теория типа «представления», которая приходит нам на помощь? И есть ли примеры внутренних симметрий, где нужна эта точка зрения?

Извините, если этот вопрос неточен или ошибочен - я только начинаю разбираться в основах предмета! Спасибо заранее!

Разве диффео ОТО тоже не действуют - ∂ Икс ¯ мю ∂ Икс ν В ν ( Икс ) на векторном пространстве, а именно на пространстве сечений касательного расслоения?
предполагая, что ваша группа является группой Ли, всегда есть присоединенное представление на соответствующей алгебре Ли, которая является векторным пространством

Ответы (1)

Позволять г быть группой, например конечной группой или группой Ли.

Тогда существует понятие группового действия г × Икс → Икс , где Икс представляет собой набор. Набор Икс не обязательно должно быть векторным пространством. Например, это может быть коллектор. И даже если Икс имеет векторно-пространственную структуру, групповое действие может быть реализовано нелинейно , т. е. групповой элемент г е г представляется нелинейным оператором Т г : Икс → Икс .

Нелинейные реализации появляются повсюду в современной физике. Например, в нелинейной реализации суперсимметрии или в нелинейной реализации конформной группы .

Пример: Пусть группа Ли г "=" г л ( 2 , С ) обратимого 2 × 2 матрицы

(1) А   "="   ( а б с г ) , дет ( А ) ≠ 0 ,

действовать на комплексной плоскости С (которое, кстати, является векторным пространством) как

(2) А . г   "="   а г + б с г + г , ( А Б ) . г   "="   А . ( Б . г )   .

Таким образом, матрицы нелинейно представляются как мероморфные функции. Подгруппа С л ( 2 , С ) — это глобальная конформная группа в двух пространственно-временных измерениях, которая, например, играет фундаментальную роль в описании теории струн на мировом листе.

Наконец, упомянем, что в математике существует обобщение понятия Ф -векторное пространство, где поле Ф заменяется кольцом р . Он известен как р - модуль .

Я хотел бы упомянуть в качестве примера, что для нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых может не охватывать линейные векторные пространства, мы все еще можем использовать группы симметрии для их решения, как причину того, что вы упомянули выше.
@Qmechanic - спасибо за ответ. Я уже знаю об общих групповых действиях, мне просто было интересно, есть ли какие-то конкретные примеры симметрии в физике, где они использовались. Не могли бы вы добавить что-то еще к своему ответу, если таковые имеются? Тогда обязательно соглашусь! Большое спасибо!
Я обновил ответ.
@ Эдвард Хьюз - вот пример нелинейной реализации симплектической группы в оптике гауссовых лучей.
@Qmechanic Почему Eqs. (2) определить нелинейное представление? Если я ничего не упускаю, то первое уравнение — это еще один вектор С а второе уравнение можно рассматривать как гомоморфизм групп: р ( А Б ) "=" р ( А ) р ( Б ) . Это похоже на линейное представление.
уравнение (2) нелинейна по г .
Возможны ли групповые представления, когда пространство решений не является векторным пространством?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v