Вырождение по массе 888 и 272727 повторений SU(3)SU(3)SU(3) в аспектах симметрии Коулмана

В «Аспекте симметрии» Коулмана в первой главе он предлагает забавную задачу. Он просит нас рассмотреть набор из восьми псевдоскалярных полей, преобразующихся в присоединенное представление С U ( 3 ) . Нас просят записать взаимодействия в четвертом порядке (игнорируя кубические члены) и показать, что:

  1. Лагранжиан взаимодействия контролируется только одним членом. Это легко сделать. Т р ( Φ 2 ) 2 а также Т р ( Φ 4 ) единственное, что мы можем записать, и они равны друг другу бесследностью Φ в связи с его принадлежностью к соседнему респ.

  2. Покажи только 27 , 8 , а также 1 являются возможными представлениями. Это тоже было легко. Единственное, что выходит из 8 ⊗ 8 знак равно 27 ⊕ 10 ¯ ⊕ 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1 является 10 который антисимметричен по своим нижним индексам, что несовместимо с бозе-статистикой мезонов, если они образуют связанное состояние.

  3. Покажи это 8 а также 27 обязательно вырождены по массе. Этот поставил меня в тупик. Любая помощь будет отличной, я опубликую, если решу ее.

Добро пожаловать в физику! Обратите внимание, что Physics.StackExchange не является сайтом помощи при выполнении домашних заданий. Пожалуйста, прочитайте этот мета-пост о том, как задавать вопросы, похожие на домашнее задание, и этот мета-пост, чтобы узнать о задачах «проверить мою работу» .
Это интересный вопрос, и ОП явно продемонстрировал некоторые усилия, решив 1. и 2. Я действительно не думаю, что его следует закрывать.
@innisfree Я согласен, что работа была показана для пунктов 1 и 2 . Проблема в том, что OP не указал, что он / она пробовал или продемонстрировал какую-либо работу для № 3, что, конечно же, является реальной темой поста. По этой причине я могу понять близкие голоса.
этот вопрос не наносит вреда. это не откроет шлюзы для вопросов типа «сделай мою домашнюю работу». многим людям (+9 голосов) это интересно. мы не должны догматически следовать мета.

Ответы (1)

Возможно, отсутствие ответа связано с тем, что вы пропустили фактическую поставленную проблему, формирование скалярных связанных состояний из восьми предоставленных сопряженных псевдоскаляров Φ. Проблема менее глубока, чем вы предполагали. Коулман просто хочет убедиться, что мощность машины оценена по достоинству, вместо того, чтобы служить простой абстрактной мешаниной судоку.

Стоит просмотреть стандартную групповую технологию SU(3), например, в классической статье Macfarlane et al., CMP 11 (1968) 77-90 , и, в частности, симметричный коэффициент матриц Геллмана, г я Дж к , что бесследно, г я я к знак равно 0 , и удовлетворяет

г я Дж к г л Дж к знак равно 5 3 дельта я л .

  • Кубический член отсутствует для сохранения четности.

  • 1) Действительно, для Φ знак равно ф я λ я , таким образом, бесследный, его характеристический многочлен в соотношении теоремы Кэли-Гамильтона , умноженный на Φ и легко прослеживаемый, дает TrΦ⁴= (TrΦ²)²/2, поэтому присутствует только один член взаимодействия; давайте запишем это как след квадрата матрицы 8x8 в присоединенных индексах, теперь, 2 ( ф я ф Дж ) 2 .

  • 2) Единственными реальными симметричными повторениями в 8 ⊗ 8 являются 1 , 8 и 27 , поэтому 8(8+1)/2=36=1+8+27.

  • 3) Теперь разобьем эту симметричную матрицу на ее неприводимые компоненты, трансформирующиеся по отдельности, которые будут служить интерполирующими полями скалярных мезонов, так что квадрат матрицы представляет собой их массовые члены. Следовая часть - синглет,

    с я Дж знак равно дельта я Дж 8 ф к ф к ,
    бесследный симметричный октет
    о я Дж знак равно 3 5 г я Дж к г к л м ф л ф м ,
    и бесследный 27-плет
    р я Дж знак равно ф я ф Дж − о я Дж − с я Дж .
    Теперь эти три симметричные матрицы следо-ортогональны друг другу,
    с я Дж с Дж я знак равно ф ⋅ ф / 8 , с я Дж о Дж я знак равно 0 , с я Дж р Дж я знак равно 0 ;
    о я Дж р Дж я знак равно 0 , о я Дж о Дж я знак равно ( 3 / 5 ) ( г я Дж к ф Дж ф к ) ( г я л м ф л ф м ) ;
    поэтому инвариант четвертой степени сводится к
    ( ф я ф Дж ) 2 знак равно Т р ( р + о + с ) 2 знак равно Т р ( р 2 + о 2 + с 2 ) ,
    таким образом, все массы одинаковы и исходят из уникального, ограниченного родительского взаимодействия.

  • Естественно, SU(3)-инвариантность не может также ограничивать массовый член синглета , поскольку к этому выражению можно добавить произвольный массовый член, не влияя на SU(3)-инвариантность.

Тема этого ароматного мира SU (3) заключалась в том, чтобы найти ограничения симметрии, коррелирующие массы и связи, в отсутствие динамики, чтобы установить закономерности, которые необходимо объяснить; и волнующие успехи этой игры привели к уважению к группам Ли и применению к более триумфальным направлениям...

Привет, Космас Захос, большое спасибо. Я нашел эту проблему ближе к концу моей степени магистра и забыл, что разместил ее здесь. Я всегда хотел получить ответ, и ваш пост отлично с этим справился. Отличный маленький рождественский подарок спустя год. Привет, Райан
Вырождение по массе 888 и 272727 повторений SU(3)SU(3)SU(3) в аспектах симметрии Коулмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v