Квантуются ли заряды U(1)U(1)\mathrm U(1)?

Рассмотрим теорию с U ( 1 ) симметрии, т. е. такой, что существует унитарный оператор U ≡ е я Вопрос который ездит с С матрица (или гамильтониан). Эрмитов оператор Вопрос представляет собой сохраняющийся заряд, который мы можем назвать электрическим зарядом (или барионным зарядом и т. д.).

Состояния теории классифицируются по унитарным представлениям группы симметрии, которая в данном случае содержит U ( 1 ) фактор. Теперь унитарные представления этой группы имеют вид г ↦ г н с г е С − { 0 } и н е Z , что означает, что состояния помечены согласно

Вопрос | н , … ⟩ "=" н | н , … ⟩
где " … относится к другим ярлыкам. Из этого я бы сделал вывод, что электрический заряд или любой другой U ( 1 ) заряд всегда квантуется. Существует минимальный заряд, скажем д , так что заряд любого другого состояния равен н д для некоторых н е Z . Кажется, это согласуется с тем, что мы наблюдаем экспериментально.

Теперь мой вопрос : я ожидал, что мы должны допускать проективные представления, а не обычные. Это означает, что теперь мы можем позволить г ↦ г н с н е р , т. е. квантовое число больше не квантуется. Следует наблюдать любой заряд, а не только те, которые скалярно кратны некоторой минимальной единице. Это, кажется, не согласуется с тем, что мы наблюдаем экспериментально. Почему это? Почему мы должны рассматривать только регулярные представления, а не проективные? Должен или не должен U ( 1 ) заряды квантуются?

Симметрия U(1) не объясняет квантование заряда.
@ Томас спасибо за ваш комментарий. Я предполагаю, что тогда ответ на заголовок отрицательный: U ( 1 ) заряды не квантуются, верно? Это потому, что представления проективны, как я сказал в ОП, или по какой-то другой причине?
В природе заряд, очевидно, квантуется. В СМ нет реальных аргументов в пользу квантования заряда, но присвоение заряда ограничено подавлением аномалий. В GUT вы можете получить квантование заряда, встроив U (1) в большую группу.

Ответы (3)

Для конкретности я рассмотрю здесь случай электрического заряда.

Есть две модели, которые могут объяснить квантование электрического заряда.

  1. Когда генератор электрического заряда является одним из генераторов сломанной большой простой группы (например, в модели Джорджи – Глэшоу), тогда электрический заряд представлен матрицей, действующей на векторную волновую функцию. Это преобразование не является проективным, поэтому для правильного действия заряд необходимо квантовать.

  2. В сценарии Калуцы-Кляйна. здесь заряд на самом деле является скоростью в пятом измерении. Если пятое измерение — окружность, то будет происходить квантование электрического заряда аналогично квантованию импульса частицы, движущейся по окружности.

Унитарный оператор U   "="   е я θ имеет своим общим аргументом фазу. Угол θ не является прямым обвинением.

Вспомним эффект Ааронова-Бома. Это фаза, индуцированная заряженной частицей, которая проходит над очень длинным соленоидом с магнитным полем. Б → внутри. Индуцированная фаза

ψ   →   е я е / ℏ ∮ А → ⋅ г Икс →
где интегрирование контура происходит вокруг соленоида. Теперь правило Стокса говорит нам, что
е / ℏ ∮ А → ⋅ г Икс →   "="   е / ℏ ∬ ∇ × А → ⋅ г а →   "="   − е / ℏ ∬ Б → ⋅ г а → .
Вектор а → является нормальным направлением отверстия соленоида, а последний интеграл является результатом закона Гаусса, который дает эффективный заряд магнитного монополя г . Чтобы исключить влияние соленоида или струны Дирака, мы отправили эту фазу в θ   "="   − 2 π Н так что
е г   "="   2 π Н ℏ .
Это условие квантования Бора-Зоммерфельда для электрического и магнитного заряда.

Это единственное предсказанное квантование заряда, которое предполагает наличие магнитного заряда. Есть несколько теорий поля с этим магнитным зарядом, который индуцирует топологию теории. Инфляционная космология подавляет появление зарядов магнитных монополей, поэтому, хотя они все еще могут существовать, они чрезвычайно редки.

Спасибо! Я принял ответ Д., потому что он больше соответствовал тому, что я искал, т. е. КТП, а не нерелятивистской КМ.

Для любой группы Ли г , проективные унитарные представления г correspond to unitary representations of its universal cover G ~ . The universal cover of U ( 1 ) is the real line R . The unitary representations of R are all direct sums of irreducible representations of this form:

ρ ( x ) = exp ⁡ ( i q x ) x ∈ р

где заряд д — произвольное действительное число.

Так что да : если мы допустим проективные унитарные представления U ( 1 ) тогда заряд не нужно квантовать.

Хороший вопрос, AccidentalFourierTransform!

Квантуются ли заряды U(1)U(1)\mathrm U(1)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v