Вращения собственных состояний SzSzS_z

Question

Вращения собственных состояний SzSzS_z

Армани42

У меня вопрос относительно вращения спиноров в системе со спином 1/2.

У нас есть генератор Spin $\hat{S}$ для вращения спиноров. Вращение вокруг оси $\vec{n}$ с углом $\phi$ генерируется оператором:

Д_{\vec{н}} (ф) "=" опыт (- я ф \hat{С} \cdot \vec{н})

$D_{\vec{n}}(\phi) = \exp(-i\phi \hat{S}\cdot \vec{n})$

Этот оператор также может быть записан для вращения вокруг $z$ например как:

Д_{г} (ф) "=" потому что (\frac{ф}{2}) - я о_{г} грех (\frac{ф}{2})

$D_z(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) - i \sigma_z \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Здесь, $\hat{S}_i = \sigma_i/2$ и $\sigma_i$ являются матрицами Паули.

$\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ $\sigma_2 = \begin{bmatrix}0&-i\\ i&0\end{bmatrix}$ и $\sigma_3 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}$

Тогда мы задали два состояния со спином в направлении оси z:

$\vert S_z= + \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} = \vert {\uparrow}\rangle$

и

$\vert S_z = - \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} = \vert {\downarrow}\rangle$

Теперь мой вопрос:

С каким вращением $D_\vec{n}(\phi)$ может ли собственное состояние $\vert S_x = +\frac{1}{2}\rangle$ получить с помощью $\vert\uparrow\rangle$ ?

Как я могу это вычислить?

Ответы (2)

Вращения собственных состояний SzSzS_z

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

Самый простой способ думать об этом — думать о вращении как о классическом векторе.

Какое вращение приведет вектор полностью вдоль $\hat z$ к $\hat x$ ось? Ясно, что это будет ротация в $xz$ плоскости, т.е. вращение вокруг $\hat y$ .

Тот же самый аргумент будет работать для спина. Вы могли бы поразмыслить над соотношением между классическим углом и углом поворота в спиновом пространстве, помня, что $\vert +\rangle$ и $\vert -\rangle$ являются ортогональными векторами в спиновом пространстве, но антипараллельными в обычном пространстве. Вот почему $\phi$ умножается на $1/2$ в ваших выражениях.

Армани42

Большое спасибо! Теперь у меня есть следующий результат:

D_{y} | ↑>= c o s (ϕ / 2) - i [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ϕ >= c o s (ϕ / 2) - [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ↑>

$D_y |\uparrow> = cos(\phi / 2) - i \begin{bmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{bmatrix} sin(\phi /2) |\phi> = cos(\phi / 2) - \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} sin(\phi / 2) |\uparrow>$ И как мне теперь показать, что это

| S_{x} = + 1 / 2 >

$|S_x = +1/2>$ ?

ZeroTheHero

@Armani42 Вы хотите быть уверены, что

\cos (ϕ / 2)

$\cos(\phi/2)$ член умножается на единичную матричную матрицу. Вам остается найти собственные состояния

S_{x}

$S_x$ как комбинации собственных состояний

S_{z}

$S_z$ , и найти угол

ϕ

$\phi$ который будет производить эти собственные состояния. Можете ли вы угадать

ϕ

$\phi$ из классических рассуждений?

Армани42

Да ладно, а Угол есть, потому что спины вращаются вдвое медленнее:

ϕ

$\phi$ "="

π

$\pi$ ?

ZeroTheHero

@ Armani42, почему вы пытаетесь посмотреть, является ли результат собственным состоянием

S_{x}

$S_x$ ?

Армани42

Хорошо, теперь я попробовал, и я получаю:

D_{y} | ↑>= [\begin{matrix} c o s (ϕ / 2) & - s i n (ϕ / 2) \\ s i n (ϕ / 2) & c o s (ϕ / 2) \end{matrix}] | ↑>

$D_y |\uparrow> = \begin{bmatrix} cos(\phi/2) & -sin(\phi/2) \\ sin(\phi/2) & cos(\phi/2)\end{bmatrix} |\uparrow>$ И

D_{y} (π) = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

$D_y(\pi) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ Но я не могу взять это собственное значение:/

ZeroTheHero

@ Armani42 Очевидно, ваш выбор ракурса и просто трансформация

| + ⟩

$\vert +\rangle$ к

| - ⟩

$\vert -\rangle$ в

\hat{z}

$\hat z$ основа. Думаю мой комментарий про "скорость вращения" вас смутил так как у вас уже есть

1 / 2

$1/2$ фактор в ваших выражениях.

Армани42

Продолжим обсуждение в чате .

ГавСобачка · Answer 2

Когда вы вращаете спиновые операторы, т.е.

Д_{\vec{н}} (ф) \cdot (\hat{С} \cdot \vec{м}) \cdot Д_{\vec{н}}^{†} (ф),

$D_{\vec{n}}(\phi) \cdot (\hat{S} \cdot \vec{m}) \cdot D^{\dagger}_{\vec{n}}(\phi),$ это то же самое, как если бы вы вращали (вправо) вектор

\vec{m}

$\vec{m}$ вокруг вектора

\vec{n}

$\vec{n}$ под углом

ϕ

$\phi$ . Это следствие алгебраических свойств спиновых операторов (они охватывают

s u (2)

$su(2)$ Алгебра Ли). Следуя этой аналогии,

{\hat{S}}_{x, y, z}

$\hat{S}_{x,y,z}$ можно изобразить как три ортогональных варианта трехмерного евклидова пространства. Если вы повернете версор

e_{x}

$e_{x}$ под углом

ϕ = - π / 2

$\phi = -\pi/2$ вокруг

e_{y}

$e_y$ ты получишь

e_{z}

$e_z$ . Итак, с точки зрения спиновых операторов:

{\hat{С}}_{г} "=" е^{я \frac{π}{2} {\hat{С}}_{у}} \cdot {\hat{С}}_{Икс} \cdot е^{- я \frac{π}{2} {\hat{С}}_{у}} .

$\hat{S}_z = e^{i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y} \cdot \hat{S}_x \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}.$

Теперь ваше начальное состояние является собственным состоянием $\hat{S}_z$ то есть

{\hat{С}}_{г} | с_{г} "=" + 1 / 2 ⟩ "=" \frac{1}{2} | с_{г} "=" + 1 / 2 ⟩ .

$\hat{S}_z |s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} |s_z=+1/2\rangle.$ Если вы используете предыдущее отношение, вы можете написать

{\hat{С}}_{Икс} е^{- я \frac{π}{2} {\hat{С}}_{у}} | с_{г} "=" + 1 / 2 ⟩ "=" \frac{1}{2} е^{- я \frac{π}{2} {\hat{С}}_{у}} | с_{г} "=" + 1 / 2 ⟩,

$\hat{S}_x e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle,$ и согласно определению собственного состояния

| с_{Икс} "=" + 1 / 2 ⟩ "=" е^{- я \frac{π}{2} {\hat{С}}_{у}} | с_{г} "=" + 1 / 2 ⟩

$|s_x=+1/2\rangle := e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle$

Вращения собственных состояний SzSzS_z

Армани42

Ответы (2)

ZeroTheHero

Армани42

ZeroTheHero

Армани42

ZeroTheHero

Армани42

ZeroTheHero

Армани42

ГавСобачка

Спиноры и вероятности электрон-позитронной пары

Эволюция собственных состояний при соединении двух спиновых систем

Связано ли вращение со скоростью изменения?

Вращение системы спин-1/2

Как эксперименты доказывают, что волновые функции фермионов действительно приобретают знак минус при повороте на 2π2π2\pi?

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Неправильный знак в угловом моменте (квантовая механика)

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Повороты матрицы Паули