Эволюция собственных состояний при соединении двух спиновых систем

Я не думал об этом раньше, поэтому вот подход, который сработает, если вы будете достаточно усердно над ним работать.

Прежде чем я начну стучать, пункт номер 1:

Следует ли мне принять систему со спином 3/2 (матрица 4x4) или запутанное гильбертово пространство со спином 1/2 и спином 1 (матрица 6x6)?

Бесспорно последнее. Это двудольная система, и ее пространство состояний является тензорным произведением пространств двух частиц. Это просто не может быть ничем другим.

Основным принципом здесь является сохранение углового момента, поэтому ваша основная процедура для решения вашей проблемы:

1. Разработайте матрицы для наблюдаемых для трех чистых компонентов углового момента (три чистых оператора углового момента);

2. Найдите наиболее общий гамильтониан, коммутирующий для всех этих трех, поскольку коммутация с гамильтонианом эквивалентна инвариантности во времени всех моментов вероятностных распределений измерений.

Часть 1. Три оператора углового момента

The $x$-AM-компонента, наблюдаемая для спиновой получастицы,

$$\sigma_x=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$$

имеет собственные векторы AM:

$$\psi_+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right);\quad\psi_-=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$$

и собственные значения AM$\lambda_+=+\frac{1}{2}$и$\lambda_-=-\frac{1}{2}$, соответственно.

The $x$-AM-компонента, наблюдаемая для частицы со спином 1,

$$S_x = \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&i\\0&-i&0\end{array}\right)$$

имеет собственные векторы AM:

$$\Psi_+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\i\\1\end{array}\right);\quad\Psi_-=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\\i\end{array}\right);\quad\Psi_0=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)$$

и собственные значения AM$\Lambda_+=+1$,$\Lambda_-=-1$и$\Lambda_0=0$, соответственно. Итак, теперь для двухчастичной системы шесть$x$-AM собственные состояния:

1. $\psi_+\otimes\Psi_+$с собственным значением AM$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$
2. $\psi_+\otimes\Psi_0$с собственным значением AM$\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$
3. $\psi_+\otimes\Psi_-1$с собственным значением AM$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
4. $\psi_-\otimes\Psi_+$с собственным значением AM$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$
5. $\psi_-\otimes\Psi_0$с собственным значением AM$-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}$
6. $\psi_-\otimes\Psi_-1$с собственным значением AM$-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$

и поэтому, если мы упорядочим собственные состояния, как указано выше, собственные векторы как столбцы будут$\mathrm{vec}(\psi_+\otimes\Psi_+),\,\mathrm{vec}(\psi_+\otimes\Psi_0)\cdots$(см. Страницу векторизации Википедии ) и, наконец, мы получаем как общее$x$-наблюдаемая компонента AM$\Sigma_X = P_X \Lambda_X P_X^\dagger$где

$$P_X=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{i}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{i}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{i}{2} \\ \end{array} \right)$$

и$\Lambda_X =\mathrm{diag}\left(\frac{3}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{-1}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{-1}{2},\,\frac{3}{2}\right)$. Результат:

$$\Sigma_X=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{i}{4} & \frac{3 i}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{3 i}{4} & \frac{i}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{i}{4} & -\frac{3 i}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{3 i}{4} & -\frac{i}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \end{array} \right)$$

Отсюда должно быть концептуально ясно, как идти, хотя и утомительно. Вы делаете то же самое для$y$-AM наблюдаемые:

$$\sigma_y=\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}\right)$$ $$S_y = \left(\begin{array}{ccc}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{array}\right)$$

найти полную систему$y$-AM наблюдаемый$\Sigma_Y$и для$z$-AM наблюдаемые:

$$\sigma_z=\left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)$$ $$S_z = \left(\begin{array}{ccc}0&i&0\\-i&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$

чтобы получить полную систему$z$-AM наблюдаемый$\Sigma_Z$.

Часть 2. Найдите наиболее общий гамильтониан

Ваш самый общий гамильтониан будет определяться тремя коммутаторными соотношениями, выражающими сохранение AM:

$$[\hat{H},\,\Sigma_j]=0;\;j=X,\,Y,\,Z$$

Вам нужно будет разработать инвариантные пространства трех$\Sigma$s сделать это. Вы получите линейное пространство возможных$\hat{H}$s: в случае двух связанных спиновых получастиц существует, по существу, только один возможный гамильтониан, который выпадает из этого подхода, и он пропорционален$\sigma_x\otimes\sigma_x+\sigma_y\otimes\sigma_y+\sigma_z\otimes\sigma_z$(плюс член, пропорциональный$4\times4$единичная матрица, выражающая сдвиг энергии основного состояния), но в этом шестимерном случае все будет немного сложнее. Как я уже сказал, я никогда не делал этого раньше, поэтому осмелюсь сказать, что есть более систематический и менее громоздкий способ решить все это. Но любой метод будет основываться на первых принципах, изложенных выше.

Магнитное поле

Каковы условия воздействия магнитного поля. Ну, это легко: в порядке, который мы изучили выше, несвязанный гамильтониан будет:

$$\hat{H} = \gamma_{\frac{1}{2}}\left(\sigma_x\,B_x + \sigma_y\,B_y+ \sigma_z\,B_z\right)\otimes 1_{3\times3} + \gamma_1\,I_{2\times2}\otimes\left(S_x\,B_x + S_y\,B_y+ S_z\,B_z\right)$$

где$\gamma_{\frac{1}{2}}$и$\gamma_1$– соответствующие гиромагнитные отношения.

---

Замечания по завершению метода. Вы также можете представить двудольное состояние$\Phi=\psi\otimes\Psi$как буквально$2\times 3$матрица, которая является внешним продуктом$\Phi=\psi Psi^T$принадлежащий$2\times 1$и$3\times 1$векторы-столбцы. Тогда оператор на первом пространстве действует слева, а операторы на втором действуют справа. Итак, наш$x$наблюдаемой компонентой будет линейное однородное преобразование:

$$\Phi\mapsto \sigma_x\,\Phi\,S_x^T$$

и оператор векторизации (см. Вики-страницу векторизации) , который переупорядочивает наши состояния в$6\times 1$векторы-столбцы, как в моем ответе, пишет это как

$$\mathrm{vec}(\Phi) \mapsto S_x\otimes\sigma_x\,\mathrm{vec}(\Phi)$$

Используя стандартную формулу$\mathrm{vec}(A\,B\,C) = C^T\otimes A \,\mathrm{vec}(B)$. По формуле$(A\otimes B)\, (C\otimes D) = (A\,C)\otimes(B\,D)$, и используя тот факт, что обратные, комплексно-сопряженные, эрмитово сопряженные и транспонированные операции распределяются по продукту Кронекера, мы можем диагонализовать$S_x\otimes\sigma_x$внутри произведения Кронекера и найти, что собственные состояния связанной системы$\Pi_x\otimes \pi_x$, где$P_X,\,p_x$- матрицы собственных векторов отдельных множителей, записанные в виде столбцов. Так что это позволит вам вычислить$\Sigma_j,\,j=X,\,Y,\,Z$систематически и быстро.

Теперь, чтобы найти самый общий гамильтониан, вам нужно найти инвариантное пространство группы матриц, порожденной тремя матрицами$\exp(i\,\Sigma_j)$и найдите его неприводимое представление: эквивалентно наименьшее векторное подпространство$\mathbb{C}^6$остается инвариантной группой: по лемме Шура любая матрица, коммутирующая со всеми тремя, должна быть пропорциональна тождественному оператору при ограничении этим подпространством. Масштабный коэффициент, возможно, равен нулю, т. е. оператор может быть нулевым эндоморфизмом. Это полностью характеризует самый общий гамильтониан: им может быть любой оператор, пропорциональный единице при ограничении на это неприводимое подпространство.

Вы также можете найти подпространство, которое является общим для всех трех нулевых пространств трех$36\times 36$матрицы$1_{36\times 36}\otimes \Sigma_j - \Sigma_j^T\otimes 1_{36\times 36}$в Mathematica или Matlab, но я подозреваю, что есть гораздо более элегантный метод, основанный на лемме Шура!