Спиноры и вероятности электрон-позитронной пары

Question:

Электрон и позитрон движутся в противоположных направлениях и находятся в спиновом синглетном состоянии. Две машины Штерна-Герлаха ориентированы в произвольном направлении; один вдоль единичного вектора$\hat{s}_1$(который измеряет положение электрона) и один вдоль единичного вектора$\hat{s}_2$(что измеряет положение позитрона).

1) Найдите собственные спиноры электрона и позитрона в сферических координатах.$\theta_1$и$\phi_1$(соответствующий$\hat{s}_1$) и$\theta_2$и$\phi_2$(соответствующий$\hat{s}_2$).

2) Рассчитайте вероятности получения каждого возможного исхода вращения (обе частицы вверх, электрон вверх, позитрон вниз и т. д.) и упростите, используя направленные косинусы вместо углов.

Attempt: И электрон, и позитрон являются частицами с половинным спином. Давайте определим

$$\hat{s}_1=\hat{i}\sin\theta_1\cos\phi_1+\hat{j}\sin\theta_1\sin\phi_1+\hat{k}\cos\theta_1$$ $$\hat{s}_2=\hat{i}\sin\theta_2\cos\phi_2+\hat{j}\sin\theta_2\sin\phi_2+\hat{k}\cos\theta_2$$

Если мы посмотрим на электрон, мы сможем построить спиновую матрицу$S_1$, который представляет угловой момент вращения вдоль$\hat{s}_1$позиция:

$$S_1=S\cdot \hat{s}_1=S_x\sin\theta_1\cos\phi_1+S_y\sin\theta_1\sin\phi_1+S_z\cos\theta_1$$ $$\rightarrow S_1=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\theta_1 & e^{-i\phi_1}\sin\theta_1\\ e^{i\phi_1}\sin\theta_1 & -\cos\theta_1 \end{pmatrix}$$

Здесь я использовал матрицы Паули.$S_x$,$S_y$, и$S_z$. Отсюда можно найти собственные значения

$$\lambda=\pm \frac{\hbar}{2}$$

Подключая, получаем нормализованные собственные спиноры$\chi_+^1$и$\chi_-^1$, соответствующие направлениям вращения вверх и вниз соответственно:

$$\chi_+^1=\begin{pmatrix} \cos(\theta_1/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^1=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_1/2) \\ -\cos(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$

Теперь мы можем найти общий спинор$\chi^1$:

$$\chi^1=\left (\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\chi_+^{(1)}+\left (\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)\chi_-^{(1)}$$

Однако получу ли я в принципе те же самые выражения для позитрона, только с другими углами: т. е.

$$\chi_+^2=\begin{pmatrix} \cos(\theta_2/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^2=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_2/2) \\ -\cos(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$

Я знаю, что и электрон, и позитрон имеют спин$1/2$, но значит ли это, что их собственные спиноры будут выглядеть почти одинаково?

Также у меня есть вопрос по части 2. Я знаю, что если мы измеряем, скажем,$S_y$, то вероятность получить ап-спин ап будет равна$[(\chi_+^{(y)})^\dagger \chi]^2$. Однако здесь у нас есть система из двух частиц, значит ли это, что вероятность получения, скажем, спина электрона вверх и спина позитрона вниз будет равна$[(\chi_+^{(1)})^\dagger \chi^1]^2\cdot [(\chi_-^{(2)})^\dagger \chi^2]^2$, т.е. вы перемножаете отдельные вероятности? Кроме того, что означает выражение вероятности в «направленных косинусах»?

Заранее спасибо.