Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Question

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Алексвас

Вопрос:

Частица А, спин которой $\mathbf{J}$ меньше 2, распадается на две одинаковые частицы типа B со спином 1/2.

Каковы допустимые значения орбитального углового момента $\mathbf{L}$ , комбинированный спин $\mathbf{S} = \mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2$ (где $\mathbf{s}_1$ и $\mathbf{s}_2$ — векторы спина частиц B), а полный угловой момент $\mathbf{J}$ продуктов распада? Приведите результаты для двух случаев: первый, если частица А имеет нечетную четность, а затем если А имеет четную четность.

Мои мысли:

Частица А может иметь спин 1/2, спин 1 или спин 3/2. С $\mathbf{J}<2$ , мы видим, что есть четыре возможности для A:

\begin{aligned} (1) : С_{А} "=" 1 / 2 л_{А} "=" 0 \Rightarrow Дж "=" 1 / 2 \\ (2) : С_{А} "=" 1 / 2 л_{А} "=" 1 \Rightarrow Дж "=" 3 / 2 \\ (3) : С_{А} "=" 1 л_{А} "=" 0 \Rightarrow Дж "=" 1 \\ (4) : С_{А} "=" 3 / 2 л_{А} "=" 0 \Rightarrow Дж "=" 3 / 2 \end{aligned}

$\begin{align*} &(1): \;\;\mathbf{S}_A = 1/2 \quad\quad \mathbf{L}_A = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{J} = 1/2 \\ &(2):\;\;\mathbf{S}_A = 1/2 \quad\quad \mathbf{L}_A = 1 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{J} = 3/2 \\ &(3):\;\;\mathbf{S}_A = 1 \quad\quad\quad \mathbf{L}_A = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{J} = 1 \\ &(4):\;\;\mathbf{S}_A = 3/2 \quad\quad \mathbf{L}_A = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{J} = 3/2 \\ \end{align*}$

Суммарный спин B-частиц может быть либо $1$ или $0$ , и каждая частица может индивидуально иметь орбитальный угловой момент вместе с угловым моментом частиц как системы. С этой точки зрения случаи 1, 2 и 4 невозможны, потому что орбитальный угловой момент частиц B является целым числом, как и их полный спин (и, следовательно, их полный угловой момент тоже). Таким образом, мы находим, что разрешен только случай 3, поэтому полный угловой момент частиц B равен $1$ а их орбитальный угловой момент равен $0$ (так $\mathbf{J}=1$ ).

У меня есть сильное ощущение, что это неверно, потому что вопрос касается случаев, когда A имеет нечетную и четную четность (что это вообще означает ?!), поэтому я подозреваю, что должно быть более одного возможного ответа. Где я неправ?

dmckee --- котенок экс-модератор

Квантовое число четности определяется, если состояние является (анти) симметричным при отражении: то есть

ψ (\vec{x}) = \pm ψ (- \vec{x})

$\psi(\vec{x}) = \pm \psi(-\vec{x})$ . Если четность определена, это

\pm 1

$\pm1$ по знаку первого отношения. Вы, вероятно, должны знать, что состояния с четным орбитальным моментом имеют четность +1, а состояния с нечетным орбитальным моментом количества движения имеют четность -1.

dmckee --- котенок экс-модератор

Вторым важным моментом здесь является то, что ответ не должен зависеть от системы отсчета, чтобы мы могли свободно оценивать его в системе отсчета частицы А (почти всегда правильный выбор для этих задач). Отсюда следует, что орбитальный момент импульса А равен нулю. Единственный нетривиальный

L

$L$ вы должны иметь в своей работе, что из продуктов.

Алексвас

Но если мы используем фрейм А, то нет смысла спрашивать решения для четной и нечетной четности А. Разве поставленная проблема не требует, чтобы мы работали в лабораторном фрейме? Кроме того, правильно ли я предполагаю, что J частицы A должно быть целым числом, потому что L и S частиц B являются целыми числами?

dmckee --- котенок экс-модератор

«нет смысла спрашивать решения для четной и нечетной четности A» Да, есть. Элементарные частицы могут иметь внутреннюю четность. Обратите внимание, что четность является мультипликативной (т.е. частица отрицательной внутренней четности в

l = 1

$l = 1$ состояние имеет положительную четность в целом). Кроме того, большинство реакций сохраняют четность, поэтому четность A определяет, какие конечные состояния доступны для электромагнитного и сильного распадов (слабые распады могут нарушать четность).

Алексвас

Я до сих пор не понимаю, как это относится к проблеме. Не могли бы вы привести пример

S_{A}

$S_A$ ,

J_{A}

$J_A$ ,

L

$L$ ,

S_{1}

$S_1$ , и

S_{2}

$S_2$ та работа? Как внутренняя четность частиц преобразуется в полный угловой момент J?

Ответы (2)

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Квантовое число четности определяется, если состояние является (анти) симметричным при отражении: то есть $\psi(\vec{x}) = \pm \psi(-\vec{x})$ . Если четность определена, это $\pm1$ по знаку первого отношения. Вы, вероятно, должны знать, что состояния с четным орбитальным моментом имеют четность +1, а состояния с нечетным орбитальным моментом количества движения имеют четность -1.
Вторым важным моментом здесь является то, что ответ не должен зависеть от системы отсчета, чтобы мы могли свободно оценивать его в системе отсчета частицы А (почти всегда правильный выбор для этих задач). Отсюда следует, что орбитальный момент импульса А равен нулю. Единственный нетривиальный $L$ вы должны иметь в своей работе, что из продуктов.
Но если мы используем фрейм А, то нет смысла спрашивать решения для четной и нечетной четности А. Разве поставленная проблема не требует, чтобы мы работали в лабораторном фрейме? Кроме того, правильно ли я предполагаю, что J частицы A должно быть целым числом, потому что L и S частиц B являются целыми числами?
«нет смысла спрашивать решения для четной и нечетной четности A» Да, есть. Элементарные частицы могут иметь внутреннюю четность. Обратите внимание, что четность является мультипликативной (т.е. частица отрицательной внутренней четности в $l = 1$ состояние имеет положительную четность в целом). Кроме того, большинство реакций сохраняют четность, поэтому четность A определяет, какие конечные состояния доступны для электромагнитного и сильного распадов (слабые распады могут нарушать четность).
Я до сих пор не понимаю, как это относится к проблеме. Не могли бы вы привести пример $S_A$ , $J_A$ , $L$ , $S_1$ , и $S_2$ та работа? Как внутренняя четность частиц преобразуется в полный угловой момент J?

грабить · Answer 1

Хм, старый вопрос без удовлетворительного ответа. Я попробую.

Спины двух $B$ может сочетаться как

\begin{aligned} майка | с_{1} с_{2} ⟩ & "=" \frac{| ↑↓ ⟩ - | ↑↓ ⟩}{\sqrt{2}}, & или тройка | с_{1} с_{2} ⟩ & "=" \frac{| ↑↓ ⟩ + | ↑↓ ⟩}{\sqrt{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{singlet}\quad|s_1s_2\rangle &= \frac{\left|\uparrow\downarrow\right> - \left|\uparrow\downarrow\right\rangle}{\sqrt2}, & \text{or triplet}\quad|s_1s_2\rangle &= \frac{\left|\uparrow\downarrow\right> + \left|\uparrow\downarrow\right\rangle}{\sqrt2}. \end{align}$

Поскольку два $B$ имеют спин 1/2, они подчиняются статистике Ферми-Дирака, и их полная волновая функция должна быть антисимметричной при обмене. Следовательно, антисимметричный спиновый синглет может быть спарен только с $L=0,2,\cdots$ , которые имеют четную четность; симметричный спиновый триплет должен быть в паре с $L=1,3,\cdots$ , так что четность волновой функции орбитального углового момента заставляет всю волновую функцию менять знак, если два $B$ взаимозаменяемы.

Внутренний паритет $B$ не способствует общей четности конечного состояния, так как их два; если $B$ имеют отрицательную четность, общая внутренняя четность пары остается положительной. Таким образом, разрешенные конечные состояния

\begin{aligned} положительный паритет & : & спиновый синглет (антисимметричный) & л & "=" 0 \\ отрицательный паритет & : & спиновый триплет (симметричный) & л & "=" 1 \end{aligned}

$\begin{align} \text{positive parity}&: & \text{spin singlet (antisymmetric)} && L&=0 \\ \text{negative parity}&: & \text{spin triplet (symmetric)} && L&=1 \end{align}$ Я опустил синглет спина в сочетании с

L = 2

$L=2$ , так как у нас нет такого большого углового момента. Точно так же нет комбинации триплета спина и

L = 3

$L=3$ который может быть произведен из

J = 2

$J=2$ начальное состояние.

Если $A$ имеет определенную четность и четность сохраняется при распаде, допускается только одна из этих возможностей. На самом деле, то, как комбинируется угловой момент (с возможностью триплета спинов плюс $L=1$ волновая функция, добавляющая $J^P=0^-$ конечное состояние) означает, что четность больше связана с разрешенным конечным состоянием спина, чем $A$ спин делает:

\begin{array}{rcc} спин 0 & спин 1 \\ паритет + & распад на синглет, 0^{+} & распад запрещен \\ паритет - & распадаться на тройку, 0^{-} & распадаться на тройку, 1^{-} \end{array}

$\begin{array}{r|cc} & \text{spin 0} & \text{spin 1} \\ \hline \text{parity}+ & \text{decay to singlet},0^+ & \text{decay forbidden} \\ \text{parity}- & \text{decay to triplet},0^- & \text{decay to triplet},1^- \end{array}$

Джек · Answer 2

На самом деле я искал более глубокое понимание того, как четность связана с угловым моментом для себя, но я знаю из Гриффитса «Введение в элементарные частицы», что четность для относительного углового момента l определяется как (-1) ^ l. Все частицы имеют четность + или -1, какая из них определяется КТП. (операторы рождения и уничтожения, зависящие от импульсов, меняющих знак при преобразовании четности). Четность мультипликативна (вы умножаете четность ваших частиц и относительный угловой момент) и для сильных и электромагнитных процессов сохраняется.

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Алексвас

Вопрос:

Мои мысли:

dmckee --- котенок экс-модератор

dmckee --- котенок экс-модератор

Алексвас

dmckee --- котенок экс-модератор

Алексвас

Ответы (2)

грабить

Джек

Матричное представление углового момента

Почему это значение ожидания вращения является вектором

Как определить, является ли собственное состояние полного спина симметричным или антисимметричным?

Как коммутировать угловой момент и спин в уравнении Дирака?

Почему скалярное произведение равно единице? (спиновые матрицы Паули)

Нахождение разрешенных значений полного углового момента jjj и проекции полного углового момента mjmjm_{j}?

Использование матрицы вращения для записи вращения, ориентированного на x, в основе z-вращения

Среднее по времени значение оператора Spin

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Вырождение состояний при учете спин-орбитальной связи