Матричное представление углового момента

Question

Матричное представление углового момента

Синь Ван

Мы должны дать матричное представление $L\cdot S$ для электрона с $l=1$ и $s=\frac{1}{2}$ .

Я читаю $L\cdot S$ как $L \otimes S$ . Это верно? Тогда у нас было бы, например, для

$L\otimes S (|1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle) = L |1,1\rangle \otimes S|1/2,1/2\rangle$ $= \sqrt{2} \hbar |1,1\rangle \otimes \sqrt{\frac{3}{4}} \hbar |1/2,1/2 \rangle = \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar^2 |1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle$ .

Эта поправка правильная? В этом случае я должен действовать таким же образом со всеми другими базисными векторами и записывать собственные значения по диагонали в матрице?

Вальтер Моретти

L

${\bf L}$ и

S

${\bf S}$ являются векторами.

L \cdot S

${\bf L} \cdot {\bf S}$ является скаляром. Что

L \otimes S

$L\otimes S$ ? Если вы хотите использовать тензорное произведение операторов, правильным выражением будет

L \cdot S = \sum_{k = 1}^{3} L_{i} \otimes S_{i}

${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .

Синь Ван

так вы говорите, что это бред? хорошо, вы знаете, как получить матричное представление для

L \cdot S

$L \cdot S$ ?

Вальтер Моретти

Да: заменить каждого оператора

L_{i}

$L_i$ и

S_{i}

$S_i$ для соответствующей матрицы. Используйте тот факт, что

l = 1

$l=1$ и

s = 1 / 2

$s=1/2$ найти эти матрицы в учебниках.

Синь Ван

Я этого не понимаю. Если мы скажем, что

J = L + S

$J=L+S$ , не значит ли это, что

J = L \otimes I d + I d \otimes S

$J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Я думаю, что не понял всей концепции сложения угловых моментов. Какая правильная математическая запись для

J = L + S

$J=L+S$ ?

Эмилио Писанти

Правильное математическое обозначение этой суммы:

J = L \otimes 1_{spin} + 1_{orb} \otimes S

$\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , где

1

$1$ s — тождественные операторы в спиновом и орбитальном гильбертовом пространствах.

Вальтер Моретти

J = L + S

${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ на самом деле означает:

J_{k} = L_{k} \otimes I_{s p i n} + I_{o r b} \otimes S_{k}

$J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ для

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$ .

Синь Ван

Спасибо. Итак, мне разрешено определять этот тензорный продукт только для каждого компонента? Но как это поможет мне оценить это

L \cdot S

$L \cdot S$ Я имею в виду, я знаю только, что

L_{3} \otimes S_{3}

$L_3 \otimes S_3$ делает на канонической основе в квантовой механике, конечно

L_{1} \otimes S_{1}

$L_1 \otimes S_1$ и то же с индексом 2 полностью не определяются принципом неопределенности?

Вальтер Моретти

Поэтому

L \cdot S = \sum_{k} (L_{k} \otimes I) (I \otimes S_{k}) = \sum_{k} L_{k} \otimes S_{k}

${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .

Вальтер Моретти

Вы должны только явно записать матричную форму

L \cdot S

${\bf L}\cdot {\bf S}$ , насколько я понял. Эта матрица существует независимо от того, нет ли общих собственных векторов для всех компонент спина или углового момента.

Синь Ван

да, но как найти эту матрицу? что мне нужно сделать сейчас?

Вальтер Моретти

Что касается спиновых матриц, т.к.

s = 1 / 2

$s=1/2$ , они есть

ℏ / 2 σ_{i}

$\hbar/2 \:\:\sigma_i$ ХОРОШО?

Вальтер Моретти

Касательно

L_{i}

$L_i$ , так как вы знаете, что

l = 1

$l=1$ , это точно такие же матрицы, определяющие спиновые компоненты частицы спина

1

$1$ . Они написаны почти во всех учебниках.

Вальтер Моретти

en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , раздел Квантовая механика первые три матрицы (там

l = j

$l=j$ и

L_{i} = J_{i}

$L_i=J_i$ .

джошфизика

Очень тесно связано: physics.stackexchange.com/questions/60409/…

Ответы (1)

Матричное представление углового момента

${\bf L}$ и ${\bf S}$ являются векторами. ${\bf L} \cdot {\bf S}$ является скаляром. Что $L\otimes S$ ? Если вы хотите использовать тензорное произведение операторов, правильным выражением будет ${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .
так вы говорите, что это бред? хорошо, вы знаете, как получить матричное представление для $L \cdot S$ ?
Да: заменить каждого оператора $L_i$ и $S_i$ для соответствующей матрицы. Используйте тот факт, что $l=1$ и $s=1/2$ найти эти матрицы в учебниках.
Я этого не понимаю. Если мы скажем, что $J=L+S$ , не значит ли это, что $J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Я думаю, что не понял всей концепции сложения угловых моментов. Какая правильная математическая запись для $J=L+S$ ?
Правильное математическое обозначение этой суммы: $\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , где $1$ s — тождественные операторы в спиновом и орбитальном гильбертовом пространствах.
${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ на самом деле означает: $J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ для $k=1,2,3$ .
Спасибо. Итак, мне разрешено определять этот тензорный продукт только для каждого компонента? Но как это поможет мне оценить это $L \cdot S$ Я имею в виду, я знаю только, что $L_3 \otimes S_3$ делает на канонической основе в квантовой механике, конечно $L_1 \otimes S_1$ и то же с индексом 2 полностью не определяются принципом неопределенности?
Поэтому ${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .
Вы должны только явно записать матричную форму ${\bf L}\cdot {\bf S}$ , насколько я понял. Эта матрица существует независимо от того, нет ли общих собственных векторов для всех компонент спина или углового момента.
да, но как найти эту матрицу? что мне нужно сделать сейчас?
Что касается спиновых матриц, т.к. $s=1/2$ , они есть $\hbar/2 \:\:\sigma_i$ ХОРОШО?
Касательно $L_i$ , так как вы знаете, что $l=1$ , это точно такие же матрицы, определяющие спиновые компоненты частицы спина $1$ . Они написаны почти во всех учебниках.
en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , раздел Квантовая механика первые три матрицы (там $l=j$ и $L_i=J_i$ .
Очень тесно связано: physics.stackexchange.com/questions/60409/…

Эмилио Писанти · Answer 1

Есть две проблемы, которые необходимо решить, чтобы решить подобные проблемы.

Оба оператора углового момента являются векторными операторами , поэтому в некотором смысле они «принимают значения» в $\mathbb R^3$ ; вас просят об их точечном продукте, который должен быть взят в этой копии $\mathbb R^3$ . У вас была бы та же проблема, если бы вас попросили вычислить скалярный продукт. $\mathbf r\cdot\mathbf p$ для одной частицы без спина.
Операторы орбитального и спинового углового момента действуют на два разных фактора тензорного произведения пространств Гильбета. Таким образом, любое (операторное) произведение скалярного орбитального оператора на скалярный спиновый оператор следует интерпретировать как тензорное произведение. У вас была бы та же проблема, если бы вас попросили рассчитать произведение $L^2S^2$ , который необходимо интерпретировать как $L^2\otimes S^2$ .

Таким образом, в вашем случае вы должны прочитать $L\cdot S$ как

л \cdot С "=" \sum_{я "=" 1}^{3} л_{я} С_{я} "=" \sum_{я "=" 1}^{3} л_{я} \otimes С_{я} .

$\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}=\sum_{i=1}^3L_iS_i=\sum_{i=1}^3L_i\otimes S_i.$ Чтобы вычислить матричное представление этого, вы должны начать с матричного представления каждого

L_{i}

$L_i$ и

S_{i}

$S_i$ . Затем вы вычисляете матрицы тензорных произведений

L_{i} \otimes S_{i}

$L_i\otimes S_i$ . Наконец, вы складываете все эти матрицы вместе, чтобы получить окончательный результат.

Все это гораздо понятнее на примере. $z$ компонента, например, легко, так как каждая матрица задается

л_{г} "=" ℏ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) и С_{г} "=" \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}),

$L_z=\hbar\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad S_z=\frac\hbar 2 \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$ в базах

{| 1 ⟩, | 0 ⟩, | - 1 ⟩}

$\{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}$ и

{| \frac{1}{2} ⟩, | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|\tfrac12\rangle,|-\tfrac12\rangle\}$ соответственно. Тогда матрица тензорного произведения в базисе

{| 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle , |1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle \}$ , дан кем-то

л_{г} \otimes С_{г} "=" \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \\ 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & - 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \end{matrix}) "=" \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$L_z\otimes S_z=\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \\ 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & -1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{pmatrix} =\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1&0&0& 0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0& 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$ Эту процедуру следует повторить с обоими

x

$x$ и

y

$y$ компоненты. Каждый из них даст матрицу шесть на шесть (в данном случае). Чтобы получить окончательный ответ, вы должны сложить все три матрицы.

Матричное представление углового момента

Синь Ван

Вальтер Моретти

Синь Ван

Вальтер Моретти

Синь Ван

Эмилио Писанти

Вальтер Моретти

Синь Ван

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Синь Ван

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

джошфизика

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Почему это значение ожидания вращения является вектором

Как определить, является ли собственное состояние полного спина симметричным или антисимметричным?

Как коммутировать угловой момент и спин в уравнении Дирака?

Почему скалярное произведение равно единице? (спиновые матрицы Паули)

Нахождение разрешенных значений полного углового момента jjj и проекции полного углового момента mjmjm_{j}?

Использование матрицы вращения для записи вращения, ориентированного на x, в основе z-вращения

Среднее по времени значение оператора Spin

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Вырождение состояний при учете спин-орбитальной связи