Временная часть квантовой волновой функции

В математике существует полная симметрия между$+i$и$-i$. И мнимая единица, и минус мнимая единица подчиняются

$$i^2 = (-i)^2 = -1$$ Обмен $i$и $-i$известен как ${\mathbb Z}_2$группа автоморфизмов комплексных чисел ${\mathbb C}$. Когда вы вводите комплексные числа в первый раз, это полное соглашение, вызываете ли вы квадратный корень из $(-1)$как $+i$или $-i$.

Однако в физике мы должны нарушить симметрию между$+i$и$-i$потому что мы должны знать, является ли волна в конкретной ситуации$\exp(i\omega t)$или$\exp(-i\omega t)$, например. В частности,$xp-px=i\hbar$и не$-i\hbar$. Кроме того, а следующий выбор знака на самом деле не является независимым от предыдущего в коммутаторе, уравнение Шредингера было выбрано как

$$H |\psi \rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$$ где $H$— гамильтониан, который можно заменить на $H=E$при воздействии на собственное энергетическое состояние $|\psi\rangle$. Это уравнение совершенно универсально везде в квантовой механике, где гамильтониан определен корректно (это может быть даже квантовая теория поля или некоторые описания теории струн).

Уравнение выше, с$H=E$, решается

$$|\psi(t)\rangle = \exp(Et/i\hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-iEt/ \hbar) |\psi(0)\rangle = \exp(-i\omega t) |\psi(0)\rangle$$ Все формы эквивалентны, потому что $1/i = -i$– это уравнение эквивалентно $i^2=-1$- и потому что $E=\hbar\omega$без знака минус. Итак, ваш знак неверен; знак, который вы отвергли, является правильным, а знак, который вы хотели, - неправильным.

Чтобы быть уверенным, в квантовой теории поля мы работаем с различными объектами — квантовыми полями — которые расширяются до терминов, зависящих от времени как$\exp(-i\omega t)$в то время как должны быть также члены, которые зависят от времени через$\exp(+i\omega t)$. Но это члены в операторах, а не зависимость волновой функции от времени. Нужно быть осторожным с точными утверждениями и объектами. Я не делал никаких заявлений вроде того, что только выражение$\exp(-i\omega t)$и не$\exp(+i\omega t)$появляется в статьях и книгах по квантовой теории. Конечно, они оба могут где-то появиться — в квантовой теории поля они оба должны появиться, потому что есть и операторы рождения, и операторы уничтожения, и частицы, и античастицы. Но когда мы спрашиваем, как энергия$E$волновая функция (и я имею в виду кет-вектор) зависит от времени, это всегда через$\exp(-iEt/\hbar)$. Вектор бюстгальтера имеет противоположный знак (плюс) в показателе степени.