Задача Кеплера во времени: как движутся две гравитационно притягивающиеся частицы? [дубликат]

Учебное решение

Первое, что нужно сделать, это определить центр масс и относительные координаты:

$$R(t) = {m_1 r_1 + m_2 r_2 \over m_1 + m_2}$$

$$r(t) = r_2 - r_1$$

Вы инвертируете это, чтобы найти

$$r_1= R - {m_2\over M} r$$ $$r_2=R+ {m_1\over M} r$$

Уравнение движения для R тривиально, поскольку центр масс является законом сохранения:

$${d^2 R \over dt^2 } = 0$$

и это решается

$$R(t) = V_0 t + R_0$$ где $V_0$и $R_0$- начальная скорость центра масс и положение соответственно (которые рассчитываются из заданных начальных условий).

Нетривиальное уравнение для относительной координаты:

$$m{d^2 r \over dt^2} = - {m_1 m_2 r\over |r|^3}$$ где m — приведенная масса: ${1\over m} ={1\over m_1} + {1\over m_2}$.

Или:

$${d^2 r \over dt^2} = - {M r\over |r|^3}$$

Где$M=m_1 + m_2$это общая масса.

Задача сводится к решению кеплеровского движения в 1/r-потенциале. С этого момента я буду масштабировать время, чтобы массовый параметр в уравнении r был равен 1.

Вы можете выбрать, чтобы ось x лежала вдоль начального r, а ось y лежала вдоль компонента начального$\dot{r}$перпендикулярно начальному r. Другими словами, вы поворачиваете координаты, чтобы сделать вектор углового момента$r\times p$где$p=m\dot{r}$лежать вдоль оси z. Это вращение сводит задачу к плоскости, а столбцы матрицы вращения задаются нормированным начальным r (теперь по оси x), компонентом начальной скорости, перпендикулярным r, нормированным (по оси y) и нормализованное L по оси z.

Затем вы используете единицы, чтобы установить общую сверхприведенную массу в 1, и используете полярные координаты в плоскости xy движения, и обратите внимание, что угловой момент постоянен:

$$r^2 {d\theta\over dt} = L$$

Это говорит вам о том, что одинаковые площади заметаются r-вектором за одинаковое время. Уравнение движения для r(t) (теперь уже не вектор, а скалярная радиальная координата):

$${d^2 r \over dt^2} = {L^2 \over r^3} - {1 \over r^2}$$

Затем вы меняете тайм-аут на$\theta$, выражая все через$r(\theta)$, что вы можете сделать, используя закон равных площадей, всякий раз, когда угловой момент отличен от нуля (если начальный угловой момент равен нулю или очень близок к нулю, это одномерная задача двух тел, которая может быть решена непосредственно с помощью более элементарного означает). Уравнение движения для$r(\theta)$упрощается, когда вы выполняете преобразование координат в$u={1\over r}$:

$${d^2 u \over d\theta^2} = C - u$$

Где C - некоторая неважная константа, и это решается

$$u(\theta) = {1\over A} (1 + a \cos(\theta -\theta_0))$$

Где A — большая полуось эллипса (если орбита — эллипс),$\theta_0$определяет ориентацию в плоскости xy, а a — это эксцентриситет эллипса (если a<1), или определяет угол гиперболы (если a>1), или говорит вам, что орбита является параболой (a=1).

единственный результат, который вам нужен, это то, что

$$r(\theta) = {A\over 1+ a\cos(\theta-\theta_0)}$$

Это дает вам решение r как функции$\theta$, что дает форму орбиты. На этом учебники заканчиваются.

Нахождение$\theta$как функция$t$

Но тогда вам нужно решение для$\theta$как функцию времени, чтобы получить r и$\theta$как функции времени. Концептуально это определяется законом площади:

$$r^2 {d\theta\over dt} = L$$

$${d\theta \over (1+ a \cos(\theta-\theta_0))^2 }= {L \over A^2} dt$$

и интегрирование этого от момента времени 0 до времени t говорит вам в принципе, что$\theta(t)$является. Результат можно записать как:

$$F(a,\theta) = F(a,\theta_0) + {L\over A^2} t$$

Где$F(a,\theta)$это специальная функция, которая дает вам площадь конического сечения параметра a в клине от фокуса, где одна полупрямая проходит вдоль большой оси, а другая полупрямая образует угол$\theta$с первым. Эта специальная функция не выразима в терминах элементарных функций.

Эта функция определяется приведенным выше интегралом, и вы можете вычислить ее численно, используя любой метод численного интегрирования. Найти эту функцию и инвертировать ее — единственная сложная часть этой задачи. Для возмущений необходимы три предела:

• для а=0,$F(0,\theta) = \theta$
• для а=1,$F(1,\theta) = {y\over 4} + {y^3\over 12}$где$y=r\sin{\theta} = {\sin(\theta)\over 1+\cos(\theta)}$
• для$a=\infty$,$F(a,\theta) \approx {1\over a} \tan(\theta)$

Каждое из них является элементарным вырождением: первое — окружность, второе — парабола, третье — прямая. Важно то, что каждое из этих вырождений дает вам x(t) и y(t), которые являются простыми, и, кроме того, вы можете красиво возмущаться вокруг каждого из этих трех пределов. В дальнейшем параметр t масштабируется, чтобы поглотить${L\over A^2}$

• круг:$x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \sin(t)$
• парабола:$y(t)= (\sqrt{1+36t^2} + 6t)^{1\over 3} - (\sqrt{1+36t^2} - 6t)^{1\over 3}$ $x(t) = {1\over 2} - {y^2\over 2}$
• линия:$x(t) = {1\over a}$,$y(t) = t$

Линия и окружность очевидны, парабола находится путем обращения кубического значения y как функции t с использованием кубического уравнения.

Вблизи круга время периодично с орбитальным периодом, который представляет собой площадь внутри эллипса.$aA^2$деленная на скорость охвата площади$L/2$. Итак, у вас есть функция однократного намотки от круга к кругу, которую всегда можно записать в виде ряда Фурье с линейным членом, который находится из степенного ряда подынтегрального выражения в интегрируемом почленно. Вблизи прямолинейной гиперболы можно аналогичным образом возмущать в ряд, и единственное интересное вырождение — это парабола. Вблизи параболы теория возмущений несколько сложнее.