Интуитивное объяснение закона Пуазейля — почему r4r4r^4?

Условие прилипания требует, чтобы скорость была$0$на границах, таким образом, вы можете интуитивно видеть, что профиль скорости должен вести себя в$a^2-r^2$(по крайней мере, в качестве ведущих членов в его расширении), с$a$радиус трубы.

Чтобы получить гидравлическое сопротивление, вам нужен поток массы: интегрирование$a^2$и$r^2$на разделе (кружке) вы получите термины в$a^4$: массовый поток выражен во временах падения давления$a^4$, отсюда и зависимость гидравлического сопротивления.

Возможно, вы можете осмыслить это как$a^{2+d}$, где 2 исходит из квадратичного профиля и$d$является измерением пространства: в потоке Хеле-Шоу у вас будет поток в$h^3$.

Нетурбулентное течение в трубе радиусом$r$пропорциональна поперечному сечению$\pi r^2$раз превышает среднюю скорость потока. Последняя пропорциональна времени$t$необходимо, чтобы импульс жидкости диффундировал к стенке:$t \approx (1/\nu) r^2$. Здесь$\nu$кинематическая вязкость ($\eta/\rho$). Отсюда следует, что поток (площадь, умноженная на скорость) пропорционален$r^4$.