Вычисление dV для поднятия апоцентра в произвольной точке орбиты

Question

Вычисление dV для поднятия апоцентра в произвольной точке орбиты

девин

Это похоже на другой пост StackExchange (вплоть до упоминаний Kerbal Space Program), но с другим подходом. Вопрос, который я пытаюсь решить, таков:

Учитывая текущие векторы состояния орбиты для положения ( $\overrightarrow{r}$ ) и скорость ( $\overrightarrow{v}$ ) (и можно с уверенностью предположить, что все кеплеровы элементы текущей орбиты также известны), я пытаюсь определить $\Delta v$ требуется для достижения целевого апоцентра $R_{a}$ . Местоположение на орбите произвольное; это может быть не апоцентр или перицентр; таким образом, целевая большая полуось $a$ и эксцентриситет $e$ неизвестны, и использование уравнения Vis-viva для большой полуоси цели само по себе не является вариантом.

В моем конкретном случае я добавил ограничение, что направление $\overrightarrow{v}$ не изменится - только его величина. Другими словами, результирующий прожиг будет происходить по прямому/ретроградному вектору, и я, по сути, только пытаюсь определить величину указанного вектора.

Моя идея заключалась в том, чтобы использовать небольшую часть формул для программного расчета элементов орбиты с использованием векторов положения/скорости в обратном порядке, а именно тех, которые включают эксцентриситет и большую полуось, а затем решить полученное уравнение для величины $\overrightarrow{v}$ . Для этого я заменил $\overrightarrow{v}$ с $\overrightarrow{d}m$ , куда $d$ – нормированный вектор скорости течений, а m – его величина. Полученная формула после некоторого упрощения выглядит так:

р_{а} знак равно \frac{мю + 1 + | (м - грамм) \vec{р} - \vec{г} (\vec{р} \cdot \vec{г}) м |}{2 грамм - м}

$R_{a} = \frac{\mu + 1+|(m-g)\overrightarrow{r} - \overrightarrow{d}(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{d})m|}{2g-m}$ куда

m

$m$ величина

\vec{v}

$\overrightarrow{v}$ в квадрате и

g = \frac{μ}{| \vec{r} |}

$g = \frac{\mu}{|\overrightarrow{r}|}$ . Это определение

g

$g$ технически неверно, но работает для этого уравнения — подробнее об этом через минуту.

Это уравнение дает мне формулу, которая правильно определяет мой текущий апоапсис, когда я добавляю другие параметры. Однако я не мог понять, как это решить для $m$ сам по себе... поэтому я спросил Wolfram Alpha , который дал мне следующее:

м знак равно \frac{2 а грамм + грамм р - мю - 1}{а - г р \cdot р + р}

$m = \frac{2ag+gr-\mu-1}{a-dr\cdot r + r}$ или же

м знак равно \frac{2 а грамм - грамм р - мю - 1}{а + г р \cdot р + р}

$m = \frac{2ag-gr-\mu-1}{a+dr\cdot r + r}$ (Я не мог найти способ убедить его, что

d

$d$ а также

r

$r$ были векторами; поэтому здесь они как таковые не показаны.

r

$r$ является

R_{a}

$R_{a}$ ).

Однако подстановка чисел обратно в эту формулу дала неверные результаты. Но!

Я обнаружил, что если использовать «правильную» формулу для $g$ ( $g = \frac{\mu/}{|\overrightarrow{r}|^2}$ ), это дало бы совершенно неверные значения для апоцентра с учетом других известных переменных... но подстановка этого «неправильного» апоцентра в другую формулу в конечном итоге дала правильное значение для $m$ для «правильного» апоцентра. Тем не менее, я понятия не имею, как воспользоваться этим фактом, и я не знаю, с чего продолжить, после того, как несколько дней копался в этом.

Итак, несколько вопросов:

Что мне здесь не хватает?
Есть ли какой-то другой способ решить эту проблему, которую я не пропустил? Я рассматривал что-то, связанное с сохранением углового момента, но столкнулся с той же проблемой, когда формулы, которые я мог найти, требуют знания значения большой полуоси.

СФ.

Я не анализирую вашу математику сейчас (занят другими вещами), но вы учитывали движение апоцентра «вбок», если ожог не в периапсисе? Например, вы масштабируете оригинал

\vec{R_{a}} \cdot k

$\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = некоторый коэффициент масштабирования), вместо нового апоцентра в совершенно другом

\vec{R}

$\overrightarrow R$ ?

девин

@SF

R_{a}

$R_{a}$ является скаляром, а не вектором. Формула для перемещения апоцентра в заданное место в декартовых координатах, вероятно, является гораздо более сложным вопросом (и, вероятно, не имеет никакого решения, учитывая упомянутые дополнительные ограничения).

Ответы (1)

Вычисление dV для поднятия апоцентра в произвольной точке орбиты

Я не анализирую вашу математику сейчас (занят другими вещами), но вы учитывали движение апоцентра «вбок», если ожог не в периапсисе? Например, вы масштабируете оригинал $\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = некоторый коэффициент масштабирования), вместо нового апоцентра в совершенно другом $\overrightarrow R$ ?
@SF $R_{a}$ является скаляром, а не вектором. Формула для перемещения апоцентра в заданное место в декартовых координатах, вероятно, является гораздо более сложным вопросом (и, вероятно, не имеет никакого решения, учитывая упомянутые дополнительные ограничения).

Марк Адлер · Answer 1

Имеем удельную энергию и удельный угловой момент:

Е знак равно - \frac{мю}{2 а} знак равно \frac{в^{2}}{2} - \frac{мю}{р}

$\mathcal{E}=-{\mu\over 2a}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$

М^{2} знак равно мю а (1 - е^{2}) знак равно р^{2} в^{2} {потому что}^{2} γ

$\mathcal{M}^2=\mu a\left(1-e^2\right)=r^2 v^2\cos^2\gamma$

куда $\mu$ это $GM$ центрального органа, $v$ а также $r$ - величины соответствующих векторов и $\gamma$ угол траектории полета.

Ты можешь получить $\cos\gamma$ данный $\vec{r}$ и ваш инициал $\vec{v_i}$ непосредственно из определения углового момента — вектор без стрелки — это его величина (нам не нужно беспокоиться о знаке $\gamma$ здесь):

потому что γ знак равно \frac{| \vec{р} \times \vec{в_{я}} |}{р в_{я}}

$\cos\gamma={\left|\vec{r}\times\vec{v_i}\right|\over r\,v_i}$

Мы назовем желаемый окончательный апоапсис $z$ , который:

г знак равно а (1 + е)

$z=a\left(1+e\right)$

Суть в том, что ваше положение и угол траектории полета будут неизменными до и после мгновенного маневра в направлении скорости. Затем вы можете найти конечную величину скорости как функцию конечного апоцентра в фиксированной точке. $r$ а также $\gamma$ :

в_{ф} знак равно \sqrt{\frac{2 мю г (г - р)}{р г^{2} - р^{3} {потому что}^{2} γ}}

$v_f=\sqrt{2\mu z(z-r)\over r z^2-r^3\cos^2\gamma}$

Разница между этим и вашей начальной величиной скорости, $v_f-v_i$ , твой $\Delta V$ в направлении скорости.

Вы должны иметь $z\ge r$ . Поскольку орбиты замкнуты, он вернется в $r$ . Если $r$ не менее $z$ , тогда $z$ это не апоапсис. Когда $z=r$ а также $\gamma\ne 0$ , у вас есть вырожденный случай, когда $v_f=0$ , так что тело затем падает по прямой линии к центру тела с бесконечной скоростью в теле, а затем возвращается обратно к $r$ . Так что действительно вам лучше иметь $z>r$ . Если $z=r$ а также $\gamma=0$ , то вы находитесь в апоцентре или перицентре. Если вы в апоапсисе, то готово. Ничего не делать. Если вы находитесь в перицентре, то существует бесконечное количество решений. Минимум $\Delta V$ было бы понизить текущий апоапсис до текущего перицентра, сделав орбиту круговой.

Обратите внимание, что в целом маневр также изменит перицентр и аргумент перицентра. Нет никакой гарантии, что новый перицентр окажется над поверхностью или атмосферой тела, поэтому будьте осторожны.

Re: ограничения между z и r: решение для z<r просто выполняет то же самое, но с целевым перицентром, а не с целевым апоцентром? И, насколько я понимаю, природа ожога вдоль вектора прямого направления (без нормальных или радиальных компонентов) означает, что увеличение скорости не приведет к снижению перицентра - таким образом, это вызывает беспокойство только в том случае, если z > текущего апоцентра. Для случая перицентра z = r должно быть только одно решение из-за ограничения направления (технически два, если величина отрицательна)
Три комментария в одном! 1) Нет. На самом деле для $r\cos\gamma<z<r$ , результат мнимый. 2) Да, перицентр опустится только в том случае, если вы уменьшите величину скорости. 3) Нет. Для $z=r$ а также $\gamma=0$ в перицентре начальной орбиты эта точка орбиты становится новой апоцентром , поэтому противоположная апсида может быть изменена на любой радиус, меньший или равный $z$ .
У меня была возможность протестировать это в KSP и я могу подтвердить, что формула работает так, как написано, но: 1) Как оказалось, она работает для настройки перицентра, если z>r: нет мнимой составляющей, потому что обе половины дроби будет отрицательным. (Хотя я не могу доказать это для всех случаев; может работать абсолютное значение). $\gamma = 1$ , а не 0, в апоапсисе/периапсисе, $\gamma = 0$ верно только для радиальной траектории . 3) вижу; потому что, как только z достигает текущего перицентра, существует бесконечное количество величин, на которых эта точка опускается ниже того, что сейчас является апоцентром.
Нет, $\gamma=0$ в периапсисе и апоапсисе. Вы, должно быть, путаете $\gamma$ с $\cos\gamma$ , где последний на самом деле $1$ в периапсисе и апоапсисе.
Вы имеете в виду, если $z<r$ . Легко найти случаи, когда результат является мнимым. Я сказал, как именно. В этих случаях принятие абсолютного значения приводит к тому, что ни апоцентр, ни перицентр не становятся $z$ .
Вы правы по всем пунктам - я путал термины.
Я был не прав насчет точки перицентра. Эта формула действительно работает для нацеливания на перицентр. Я думал, что формула вообще не работает, потому что я не оценил тот факт, что угол траектории полета действительно мешает достижению определенных периапсов. Орбита с перицентром $z$ достижим, только если $z<r\cos^2\gamma$ . Обратите внимание на квадрат. Недостаточно, чтобы результат был реальным, что обеспечивается $z<r\cos\gamma$ .

Вычисление dV для поднятия апоцентра в произвольной точке орбиты

девин

СФ.

девин

Ответы (1)

Марк Адлер

девин

Марк Адлер

девин

Марк Адлер

Марк Адлер

девин

Марк Адлер

Почему для медленной спирали из C3, равной нулю, потребуется примерно в 2,4 раза больше ΔV, чем для импульсивного маневра?

Математика диаграммы Delta-V

Скручивание с круговой орбиты для побега с малой тягой, что такое γ (гамма)?

Что именно означает универсальная переменная x и z?

Сколько энергии нужно, чтобы приблизить Фобос к Марсу?

Меняется чистое наклонение орбиты, почему дельта v различается между векторным и численным подходами?

Расчет эллиптической переходной орбиты

Существуют ли еще точки Лагранжа, если на третье тело от первого оказывается значительное радиационное давление?

Почему угол изгиба гиперболической траектории дает разные результаты?

Оптимальный дельта-v прожиг для изменения перицентра или апоцентра в произвольной точке эллиптической орбиты?