Математика диаграммы Delta-V

Это большой вопрос, но мы, безусловно, можем свести его к минимуму. Вам нужно несколько уровней необходимых знаний. Я разобью его так:

1. Актуальность Delta v для топливного бюджета
2. Преобразование между гравитационным потенциалом и соответствующей ему скоростью
3. Основы физики передач Хомана
4. Неидеальные факторы, переходящие с поверхности на орбиту

Не все из них полностью необходимы, поэтому другие люди будут объяснять это другим путем. Эта последовательность точек просто отражает мою собственную интуицию.

Пропеллентный бюджет

Идея карты Delta-v была бы бесполезна, если бы она не была аддитивной. Подумай об этом. В этом весь смысл карты. Если я не могу добавить сегменты для расчета общего расстояния, то это не «карта». Но есть интересная критика этого пункта — «расстояние» на этой карте не зависит линейно от необходимого топлива.

Мы склонны думать, что расход топлива пропорционален пройденному расстоянию. Но на самом деле это неправильно. Когда ваш бензобак полон, увеличивается трение качения о дорогу, поэтому ваш автомобиль более эффективен с почти пустым бензобаком. Вы и я пренебрегаем этим, потому что наш энергетический бюджет мал по сравнению с весом автомобиля на бензине. В ракетостроении это крайне важно. НО расчет дельта-v по-прежнему линейный. Таким образом, это сильная математическая аналогия с расстоянием, пройденным автомобилем.

Уравнение ракеты:

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$$

На картах delta-v вы считаете$\Delta v$, и они верно добавляют линейно.

Гравитационный потенциал

Из физики вы должны быть знакомы с понятием «потенциал» как$GM/r$. Это единицы$m^2/s^2$. В этой форме вы можете применить энергетический баланс. Если вы думаете о сохранении энергии, выраженном в уравнении, разделите это уравнение на массу вашей тестовой массы. Это и есть основной энергетический баланс в стационарной системе отсчета.

Если бы у нас была идеальная система отсчета, то мы бы применяли все уравнения энергетического баланса с приведенным выше наивным гравитационным потенциалом. Другими словами, это количество будет аддитивным. Но это не потому, что мы гораздо больше заботимся о системе отсчета ракеты, чем о Земле или Солнце.

В корпусе ракеты единицы$m/s$иметь чертовски больше смысла. Рассмотрим ситуацию:

Ракета покоится относительно Земли в верхних слоях атмосферы. Он запускает свои ракеты к центру Земли, горение заканчивается быстро, и он передает достаточно импульса, чтобы хорошо выйти из-под земного притяжения.

В этом случае задача решается относительно легко.

энергетический баланс:

$$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{GM_E m}{R_E+(200 km)}$$

разделить на м.

$$\frac{1}{2} v^2 = \frac{GM_E }{R_E+(200 km)}$$

Вот реальный расчет

$$\Delta v = \sqrt{\frac{2 GM_E}{R_E+(200 km)}} = 10,925 \frac{m}{s}$$

Это расчет скорости убегания , и это очень простой пример дельта-отрезка v.

Хохманн переводит

В реальной жизни, конечно, нам нужно выбрать наиболее эффективный путь. Это выглядит так:

1. Вы начинаете на круговой орбите
2. Вы горите, чтобы выйти на эллиптическую переходную орбиту
3. Как только вы достигнете желаемой орбиты, вы снова сожжете, чтобы сделать свой путь круговым.

Никогда не имеет смысла «останавливаться по пути», и это всегда будет стоить вам больше топлива. Это может показаться вам немного запутанным, учитывая диаграмму с множеством точек остановки. Но это в основном переходные орбиты, как на приведенной выше диаграмме, а затем переход от одного масштаба к другому.

Учитывая, что перенос Хольмана имеет два прожига, вам нужно получить выражения для Delta v. Здесь они с обозначениями, соответствующими приведенному выше изображению.

$$\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \left( \sqrt{\frac{2 R'}{R+R'}} - 1 \right),$$

$$\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 R}{R+R'}}\,\! \right) ,$$

Они составляют большую часть чисел, которые вы видите на изображении. Они складываются вместе, чтобы получить окончательные требования к вашей ракетной технике, поэтому имеет смысл поместить их на «карту». Например, для увеличения орбиты с LEO на GEO у вас может быть 3 точки и два сегмента, где первая точка — LEO, вторая — переходная орбита, а 3-я — GEO. Я думаю, что они не нанесли это на карту (хотя могли бы), потому что никого особо не волнует переходная орбита с НОО на ГСО.

Неидеальные факторы

Переход с поверхности Земли на низкую околоземную орбиту включает в себя и другие факторы:

• гравитационное сопротивление
• сопротивление воздуха
• некоторое дополнительное минимальное увеличение высоты, чтобы избежать быстрого спада орбиты

Это объясняет, почему переход на НОО составляет около 10 км/с, а не буквальная скорость НОО, которая больше похожа на 7,9 км/с. Гравитационное сопротивление и увеличение высоты вносят свой вклад порядка 1 км/с, так что окончательный ответ не удивителен. Не все тела будут иметь эти же факторы. Это просто пример особых соображений для этой карты.

Я также понимаю, что этот ответ не является исчерпывающим. Это объясняет примерно половину графика.

Я подсчитывал некоторые цифры, и с ответом @AlanSE я думаю, что я на правильном пути. Я возьму в качестве примера расчет карты Дельта-V для запуска ракеты на НОО с последующим переходом Хомана на Луну. Поправьте меня если я ошибаюсь:

У нас есть это уравнение для дельта-V, необходимой для взлета и достижения высоты 200 км:

$$\begin{align} \Delta v_{0} & = \sqrt{\frac{\mu}{R}} \\ & = \sqrt{\frac{6.673\times 10^{-11} * 5.97219 \times 10^{24}}{6371000}} \\ & = 7909.034~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} v & = \sqrt{2 * Gh} \\ & = \sqrt{ 2 * 9.8 * 200000 } \\ & = 1979.899~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\text{Where } \mu = GR_{earth}$$

Таким образом, у нас есть ~9888,9 м/с Δv, чтобы достичь высоты 200 км над землей.

Пересадка Хомана на Луну

$$\begin{align} r_{1} & = 6571000~\text{m}~\text{(Earth radius plus 200km)} \\ r_{2} & = 362600000~\text{m}~\text{(Moon average position at perigee)} \\ \end{align}$$
$$\begin{align} \mu_{earth} & = 3.98524 \times 10^{14}~\text{m}^3/\text{s}^2 \\ \mu_{moon} & = 4.903120210000 \times 10^{12}~\text{m}^3/\text{s}^2 \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{1} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{1}}} * \left(\sqrt{ \frac{2*r_{2}}{r_{1}+r_{2}} } - 1\right) \\ & = 3127.331~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{2} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{2}}} * \left(1 - \sqrt{ \frac{2*r_{1}}{r_{1}+r_{2}} }\right) \\ & = 94.345~\text{m/s} \end{align}$$

Большинство этих дельта-V-карт основаны на орбитах Хомана и исправленных кониках.

Я буду использовать пример земли на Марс Хоманн:

Земля движется со скоростью 30 км/с, переходная орбита в перигелии движется со скоростью 33 км/с, поэтому 3 км/с соответствует скорости.

Перенос в афелии составляет 21,5 км/с, а на Марсе – 24 км/с. Итак, 2,5 км/с, чтобы соответствовать скорости.

Так откуда же взялись числа 33, 30, 21,5 и 24?

Уравнение жизни .

$V=\sqrt{\mu_{sun}(2/r - 1/a)}$

$\mu_{sun}$= Гравитационная постоянная * Масса Солнца

a = большая полуось эллипса

r = расстояние от солнца

В случае круговой орбиты радиус круговой орбиты совпадает с большой полуосью, поэтому r = a. Замена a на r сводит уравнение живой природы к следующему:

$V=\sqrt{\mu_{sun}/r}$

Скорость круговой орбиты.

Для околоземной орбиты r = ~150 000 000 километров. Для орбиты Марса r = ~ 225 000 000 километров.

Для переходной орбиты а = (150 000 000 + 225 000 000)/2 км.

В перигелии переходной орбиты r = 150 000 000 В афелии переходной орбиты r = 225 000 000

Подставив эти числа в vis viva, вы должны получить числа в районе 33 км/с, 30 км/с, 21,5 км/с и 24 км/с.

Я многое округлил для простоты, а также орбиты Земли и Марса не идеально круглые и копланарные. Круговая копланарная модель не является точной, но она может дать вам приблизительные цифры.

Оказавшись внутри сферы влияния планеты, траектории больше не хорошо моделируются как эллипсы вокруг солнца, а как гиперболы вокруг планеты.

Скорость гиперболы:

$V=\sqrt{V_{inf}^2+V_{esc}^2}$

Вам это не напоминает теорему Пифагора? Я использую это запоминающее устройство, чтобы запомнить скорость гиперболы:

Что$V_{inf}$? В случае отлета от Земли это 3 км/с. (Помните перигелийную скорость переноса 33 км/с и земную 30 км/с?)

Что$V_{esc}$? Скорость убегания в окрестности Земли равна

$V_{esc} = \sqrt{2\mu_{earth}/r}$

Один из способов представить параболическую орбиту убегания - это эллипс с бесконечной большой полуосью. В этом случае 1/a будет равно нулю. Таким образом, уравнение жизнеспособности сводится к приведенному выше уравнению Веска.

$\mu_{earth}$= гравитационная постоянная * масса земли.

Вы могли заметить, что скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на два в квадрате.

Для нашего примера установим r равным 300 км над поверхностью земли. г = 6678 км.

Подставив это значение r в приведенное выше уравнение для скорости убегания, вы должны получить около 10,9 км/с.

Таким образом, гипербола для Trans Mars Insertion (TMI) равна$\sqrt{10.9^2+3^2}$что составляет 11,3 км/с.

При r = 6678 км низкая круговая околоземная орбита имеет скорость 7,7 км/с.

11,3 - 7,7 = 3,6. Итак, 3,6 км/с для TMI.

По прибытии на Марс вы будете использовать аналогичный процесс. Но$\mu_{Mars}$будет гравитационная постоянная, умноженная на массу Мрас. Винф будет 2,5 км/с.

Я сделал электронную таблицу Хохмана , в которой используются уравнения, которые я дал. Это может дать вам дельта Vs для различных сценариев. Интересно изменить апоцентр и перицентр парковочных орбит вокруг планеты.

Я использовал эту же таблицу для расчета большинства чисел, это моя собственная карта дельта-V .

С помощью Google или Википедии легко найти планетарные радиусы, орбитальные радиусы и массы для различных тел.

Если вы помните уравнение живой природы, а также пифагорейское устройство памяти для гиперболических орбит, залатать коники несложно.