Вычисление направления трения на наклонной плоскости/Определение судьбы круглого тела на наклонной плоскости

таким образом, что он точно уравновешивает компонент веса этого объекта

Я не уверен, что это предположение верно. Сила (статического) трения удерживает неподвижной только точку контакта , а не весь объект. Таким образом, нет очевидной причины думать, что это трение должно уравновешивать весь вес.

тогда его ускорение будет равно 0, верно?

Ускорение точки контакта равно нулю, да, но не обязательно ускорение остальной части объекта.

Итак, будет ли объект двигаться вниз в этой плоскости?

Попробуем разобраться в этом. Мяч будет двигаться вниз по склону, если в этом направлении действует сила, исходящая от его центра масс (второй закон Ньютона). Единственными силами вдоль склона являются статическое трение и весовая составляющая. Как упоминалось выше, мы, к сожалению, не знаем точно, как соотносятся эти две силы — мы не знаем величину силы трения.

Нелегко быстро увидеть, насколько велика сила статического трения, и она может быть меньше, чем весовая составляющая. Или может быть больше. Или равно. Не будем ничего предполагать, а точно разберемся.

Одним из способов выяснить, в каком направлении будет двигаться мяч, может быть, например, рассмотрение другого закона, отличного от второго закона Ньютона. Такой другой закон может быть вращательной версией второго закона Ньютона :

Это простой анализ баланса крутящего момента. Мы выбираем точку для наблюдения, а затем анализируем силы, вызывающие крутящие моменты вокруг этой точки.

• Около центра масс трение покоя создает неуравновешенный крутящий момент против часовой стрелки.
• в качестве проверки мы могли бы также рассмотреть, скажем, точку контакта, относительно которой вес создает неуравновешенный крутящий момент против часовой стрелки.

Они согласны. Возникает несбалансированный крутящий момент против часовой стрелки, вызывающий крен вниз.

так будет ли он по-прежнему двигаться вниз, несмотря на то, что в направлении вниз нет силы, которая могла бы придать ему поступательное движение по наклонной плоскости?

Поскольку мы теперь из вышеизложенного знаем, что существует крен вниз, мы также знаем, что должна быть результирующая сила вниз по склону. В противном случае, как вы правильно заметили, не было бы никакого поступательного движения вниз вслед за вращательным движением, а это, очевидно, невозможно, если предположить отсутствие проскальзывания.

Так откуда же берется эта нисходящая чистая сила? Вдоль склона тянут только две силы: статическое трение и весовая составляющая. Мы знаем, что статическое трение тянет вверх из-за природы статического трения как силы реакции. Таким образом, этот анализ крутящего момента доказал нам, что направленная вниз составляющая веса должна быть больше , чем направленное вверх статическое трение.

И вот оно.

Теперь мы знаем направление трения и то, что оно наверняка меньше весовой составляющей. Если вы хотите узнать точное значение статического трения, я бы ввел геометрическую связь, связывающую поступательное ускорение с вращательным ускорением. Я полагаю, что с этим уравнением у вас будет достаточно, чтобы решить нисходящее поступательное ускорение. Который затем можно использовать во втором законе Ньютона и решить для статического трения.

Это ошибка, которую вы делаете:

$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$

Трение никогда не будет равно$\mu mg \cos \theta$. Почему?

Трение будет статическим и будет пытаться предотвратить скольжение между точкой контакта и землей. Чистое ускорение точки контакта с землей$\ne g\sin\theta$из-за крутящего момента, создаваемого трением против часовой стрелки. (как ты говорил)

Также этот пункт:

Или, может быть, трение сначала действует вниз, добавляя к своей составляющей веса и придавая ей ускорение, а затем снова начинает действовать в направлении назад/вверх, придавая ей чистое катящееся движение? Однако это означало бы, что он имеет крутящий момент по часовой стрелке, что кажется абсурдным для объекта, который держится исключительно сам по себе.

Это тоже неправильно.

Вы должны учитывать, где сила применяется к объекту. Для сферы или кольца это будет эффективно воздействовать на центр масс объекта. Предполагая однородную форму и плотность, это центр.

Если вы рассматриваете силы таким образом, то есть противодействующие силы от веса объекта на наклонной плоскости, которые компенсируют друг друга, сила трения из-за нормальной силы и сила тяжести, действующая на центр масс объекта. Поскольку центр масс не соприкасается с плоскостью, а находится на некотором расстоянии от нее, действует крутящий момент и вызывает движение. В этом случае маловероятно (если только поверхность наклона не является липкой), что силы трения достаточно, чтобы предотвратить вращение большинства объектов. Поэтому они скатывают самолет.

Если круглый предмет (скажем, кольцо или шар) держать на шероховатой наклонной плоскости наклона$\theta$и коэффициент трения$\mu$такова, что она точно уравновешивает составляющую веса этого объекта, то есть$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$, то его ускорение будет$0$, верно?

Одна вещь, на которую намекали другие ответы, но не указывалось явно, заключается в том, что статическое трение описывается не равенством, а скорее неравенством. Таким образом, уравнение статического трения должно быть

Сила трения,$F_f$, будет принимать любое значение, меньшее или равное предельному значению. Точное значение, которое оно принимает, — это любое значение, необходимое для предотвращения проскальзывания в пятне контакта. Это означает, что требуемое значение должно определяться ограничениями, а не только силами.

В данном случае это условие качения без проскальзывания. Это связывает угловое ускорение объекта и его поступательное ускорение. Когда вы включите это, вы обнаружите, что$F_f$на самом деле меньше этого предельного значения, и именно это позволяет объекту катиться по склону.