Вычисление среднего значения гамильтониана

Я хочу рассчитать математическое ожидание гамильтониана. У меня есть волновая функция, которая

ψ "=" 1 5 ( 1 ф 1 + 2 ф 2 ) .

Я хочу знать, правильно ли я настроил это. Гамильтониан ЧАС ^ ( Икс , ℏ ∂ 2 2 м ∂ Икс 2 ) . Чтобы получить ожидаемое значение, мне нужно интегрировать это:

∫ ψ * ЧАС ^ ψ г Икс .

Поскольку волновые функции нормированы и реальны, я могу пойти с ψ * "=" ψ .

Итак, я собрал интеграл.

∫ 1 5 ( ф 1 + 2 ф 2 ) ℏ 2 м 1 5 ( ф 1 ″ + ф 2 ″ ) г Икс "=" ℏ 2 м 1 5 ∫ ( ф 1 + 2 ф 2 ) ( ф 1 ″ + 2 ф 2 ″ ) г Икс ,

и я знаю волновую функцию для

ф н "=" 2 л грех ⁡ ( н π Икс л )
так
ф 1 "=" 2 л грех ⁡ ( π Икс л )
и
ф 2 "=" 2 л грех ⁡ ( 2 π Икс л ) .

Я могу подключить их и выполнить интеграл, и я хотел проверить, правильно ли я поступил. Я подозреваю, что есть более простой метод. Но если это сработает, я могу сказать: «Отлично, по крайней мере, я понимаю это достаточно, чтобы решить проблему».

Может ли Джесси или кто-то еще объяснить обозначение гамильтониана? Является ЧАС ^ "=" ( … , … ) суждено быть ЧАС ^ "=" ЧАС ^ ( … , … ) ?
Это должно было быть без знака =. Починил это.
Используйте факты: 1. ф 1 и ф 2 являются собственными состояниями ЧАС и 2. Они ортогональны, так как их собственные значения различны. Никаких явных вычислений интегралов не требуется.
Означает ли это, что ф 1 ф 2 ″ например ноль? Я видел, что это идет к нулю, когда я сделал интеграцию...

Ответы (1)

Итак, вот абстрактный подход:

⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" 1 5 ( ⟨ ф 1 | ЧАС | ф 1 ⟩ + 2 ⟨ ф 1 | ЧАС | ф 2 ⟩ + 2 ⟨ ф 2 | ЧАС | ф 1 ⟩ + 4 ⟨ ф 2 | ЧАС | ф 2 ⟩ ) .

Теперь ты знаешь, что ЧАС | ф 1 ⟩ "=" Е 1 | ф 1 ⟩ и ЧАС | ф 2 ⟩ "=" Е 2 | ф 2 ⟩ --- или, скорее, вы можете легко проверить, что указанные вами функции действительно являются собственными состояниями гамильтониана:

− ℏ 2 2 м д 2 д Икс 2 ф н "=" н 2 π 2 ℏ 2 2 м л 2 ф н ≡ Е н ф н .

Функции ф н также нормализованы, как вы можете проверить, и ортогональны друг другу --- это должно быть так, потому что они являются собственными функциями эрмитова оператора (с разными собственными значениями). Следовательно, приведенное выше выражение становится:

⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" 1 5 ( Е 1 ⟨ ф 1 | ф 1 ⟩ + 2 Е 2 ⟨ ф 1 | ф 2 ⟩ + 2 Е 2 ⟨ ф 2 | ф 1 ⟩ + 4 Е 2 ⟨ ф 2 | ф 2 ⟩ ) .
⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" 1 5 ( Е 1 + 4 Е 2 ) .

Подстановка в виде энергий дает:

⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" 17 5 π 2 ℏ 2 2 м л 2 .

Для меня это проще, чем вычисление приведенного вами интеграла, хотя приведенный вами интеграл верен (или почти --- гамильтониан должен иметь множитель ℏ квадрат перед второй производной). Если вы попытаетесь вычислить интеграл, вы обнаружите значительное сокращение из-за ортогональности задействованных функций. Если вы умеете быстро определять, когда интеграл исчезает, например:

∫ 0 л 2 л грех ⁡ ( π Икс л ) 2 л грех ⁡ ( 2 π Икс л ) д Икс "=" 0

тогда приведенный выше рецепт не может показаться проще. Но что касается чистоты подхода, лучше сослаться на ортогональность собственных функций --- что является результатом центральной важности в такого рода задачах, и это вы докажете в любом вводном курсе QM --- прежде чем углубляться в в явные вычисления.

================================================== ===============================

NB: Я предполагаю, что вы, возможно, еще не встречали приведенные выше обозначения. Ничего страшного. Для наших целей просто возьмем ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ значить

∫ ψ * ( Икс ) ЧАС ψ ( Икс ) д Икс ,

из которого вы должны увидеть, как следует первая строка. Утверждение, что две функции ортогональны, равносильно ⟨ ф 1 | ф 2 ⟩ "=" 0 , в то время как утверждение, что функция нормализована, равнозначно ⟨ ф 1 | ф 1 ⟩ "=" 1 .

Спасибо, я столкнулся с нотацией Дирака, и мне никогда не удавалось хорошо с ней справиться. Как ни странно, в моем окончательном ответе я получил ответ 33/10, но я подозреваю, что это арифметическая ошибка. Но на самом деле я просто хотел проверить, что я не слишком далеко от рельсов. И опять же, это очень помогает. Каждый текст QM просто прыгает в Дирака; немногие на самом деле объясняют, что ДЕЛАЕТ обозначение. Кажется, даже профессионалы просто предполагают, что все это знают (я полагаю, магическим образом).
Кстати, мои рассуждения о ψ * "=" ψ (учитывая реальность волновой функции) нормально, верно? (Я знаю, что в других случаях это не так... но я также знаю, что ортогональность ф функций устраняет массу вещей).
Да, в самом деле, ψ "=" ψ * в этом случае. Я согласен с тем, что обозначения Дирака часто вводятся без особой мотивации. Дело вот в чем: состояния квантово-механической системы представлены векторами в векторном пространстве . Подобно тому, как в классической механике мы описываем систему списком положений и импульсов частиц, в КМ объекты, которые мы используем для описания систем, должны составлять векторное пространство. Причина этого в том, что в КМ у нас есть понятие суперпозиции состояний , то есть нам разрешено умножать состояния на числа и складывать их вместе. Именно такими являются векторы.
Возможно, вы привыкли к векторной записи а → или а , но чтобы подчеркнуть, что эти векторы более абстрактны --- они не являются стрелками в пространстве --- мы используем обозначение | а ⟩ . Определенные наборы функций составляют векторные пространства, а функции — это объекты, с которыми вы обычно имеете дело в начале QM. Но вообще наши состояния не могут быть описаны функциями; однако они всегда описываются некоторым вектором. Следовательно, нотация Дирака на самом деле является просто векторной записью --- записью линейной алгебры --- которая предназначена для того, чтобы подчеркнуть основную математическую структуру теории.
большое спасибо - я взял линейную алгебру, но это были все доказательства, мы никогда ничего не делали с реальными вычислениями (или, по крайней мере, очень мало). Я чувствовал, что это проблематично, хотя я понимал, почему они освещали то, что делали.
Вычисление среднего значения гамильтониана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v