Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Question

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

пользователь44816

Учитывая волновую функцию
$ψ (Икс) "=" А опыт [- а (\frac{м {Икс}^{2}}{ℏ} + я т)]$ $\psi(x)=A\exp\left[-a \left(\frac{mx^{2}}{\hbar}+it\right)\right]$ Я хотел бы рассчитать $\sigma_{p}$ .

\begin{aligned} ⟨ п ⟩ & "=" \int ψ^{⋆} (\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс}) ψ д Икс \\ "=" 2 я м а А^{2} \int Икс е^{- к {Икс}^{2}} д Икс \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align}\langle p\rangle &=\int \psi^{\star}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi dx\\ &=2imaA^{2}\int xe^{-kx^{2}}dx\\ &=0 \end{align}$ так как подынтегральная функция нечетная. (Я позволяю

k = \frac{2 a m}{ℏ}

$k=\frac{2am}{\hbar}$ )

Сходным образом,

\begin{aligned} ⟨ п^{2} ⟩ & "=" \int ψ^{⋆} {(\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс})}^{2} ψ д Икс \\ "=" - 2 А^{2} м а ℏ [\int к {Икс}^{2} е^{- к {Икс}^{2}} д Икс - \int е^{- к {Икс}^{2}} д Икс] \\ "=" - 2 А^{2} м а ℏ [\frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{к}} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{к}}] \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \langle p^2\rangle &=\int \psi^{\star}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}\psi dx\\ &=-2A^{2}ma\hbar \left[\int kx^{2}e^{-kx^{2}}dx-\int e^{-kx^{2}}dx\right]\\ &=-2A^{2}ma\hbar\left[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{k}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{k}}\right]\\ &=0 \end{align}$

Но разве это не означает $\sigma_{p}=\sqrt{\langle \widehat p^{2}\rangle -\langle \widehat p\rangle ^{2}}=0$ ?

Я думаю, что я, должно быть, сделал математическую ошибку, потому что этот результат в его нынешнем виде нарушил бы принцип неопределенности, как я его понимаю: $\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\frac{\hbar}{2}$

Но я не вижу ничего неправильного. Делает $\sigma_{p}=0$ нарушает принцип неопределенности?

Голограф

Интегралы, которые у вас есть, выглядят нормально, но вы оценили один из них с множителем.

Илье

Вам также необходимо найти константу нормализации,

A

$A$ , чтобы получить значение

σ_{p}

$\sigma_p$ .

Ответы (2)

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Интегралы, которые у вас есть, выглядят нормально, но вы оценили один из них с множителем.
Вам также необходимо найти константу нормализации, $A$ , чтобы получить значение $\sigma_p$ .

QuantumEyedea · Answer 1

QuantumEyedea

Вы допустили ошибку в расчете ⟨p2⟩. Вы вычислили два интеграла, второй из которых отличается в два раза.

пользователь44816

Ах:

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- k x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{k}}

$\int ^{\infty}_{-\infty} e^{-kx^{2}}dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{k}}$

пользователь44816 · Answer 2

В моем расчете ошибка.

Фактически: $\int ^{\infty}_{-\infty} e^{-kx^{2}}dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{k}}$

Так

⟨ {\hat{п}}^{2} ⟩ "=" - 2 А^{2} м а ℏ [\frac{- 1}{2} \sqrt{\frac{π}{к}}] "=" м а ℏ

$\langle \widehat p^{2} \rangle=-2A^{2}ma\hbar [\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{k}}]=ma\hbar$ при условии

A^{2} = \sqrt{\frac{2 a m}{π ℏ}}

$A^{2}=\sqrt{\frac{2am}{\pi\hbar}}$ как вычислено с использованием условия нормировки.

Это можно использовать для расчета

о_{п} "=" \sqrt{м а ℏ}

$\sigma_{p}=\sqrt{ma\hbar}$ Аналогичным образом можно показать, что

⟨ {Икс}^{2} ⟩ "=" \frac{ℏ}{4 м а}

$\langle x^{2}\rangle=\frac{\hbar}{4ma}$ и

⟨ Икс ⟩ "=" 0

$\langle x \rangle= 0$ так

о_{Икс} "=" \sqrt{\frac{ℏ}{4 м а}}

$\sigma_{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{4ma}}$ и наконец:

о_{п} о_{Икс} "=" \sqrt{\frac{ℏ^{2} м а}{4 м а}} "=" \frac{ℏ}{2} \geq \frac{ℏ}{2}

$\sigma_{p}\sigma_{x}=\sqrt{\frac{\hbar^{2}ma}{4ma}}=\frac{\hbar}{2}\geq\frac{\hbar}{2}$ что согласуется с принципом неопределенности.

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

пользователь44816

Голограф

Илье

Ответы (2)

QuantumEyedea

пользователь44816

пользователь44816

Волновая функция прямоугольного окна ψψ\psi и исчисление ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для нее

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Что такое квадрат оператора импульса P^P^\hat{P} в двух измерениях?

Эквивалентная версия принципа неопределенности энергии времени внезапного приближения?

Волновые функции, когда xxx стремится к бесконечности

Почему собственные пространства эрмитова оператора взаимно ортогональны? [закрыто]

Какая связь между определением принципа неопределенности с использованием стандартных отклонений и использованием ΔxΔx\Delta x и ΔpΔp\Delta p?

Оператор перевода и оператор положения

Как решить эти интегралы волновой функции и оператора?

Гауссовский волновой пакет