Выход светоделителя с входами состояния числа фотонов (Фока)

Уравнения преобразования, которые вы указываете, неверны, поскольку они не соблюдают унитарность. Условие унитарности (или сохранения энергии) действия светоделителя дает следующие преобразования:

$\hat{c}=\sqrt{\tau}\hat{a}+\sqrt{1-\tau}\hat{b}$

$\hat{d}=\sqrt{1-\tau}\hat{a}-\sqrt{\tau}\hat{b}$

Знак минус во втором уравнении обеспечивает соблюдение унитарности.

По причинам, которые вскоре станут ясны, давайте обратим эти уравнения, чтобы получить операторы режима ввода$\hat{a}$и$\hat{b}$с точки зрения операторов режима вывода$\hat{c}$и$\hat{d}$. Как и следовало ожидать из аргументов обратимости, мы получаем:

$\hat{a}=\sqrt{\tau}\hat{c}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}$

$\hat{b}=\sqrt{1-\tau}\hat{c}-\sqrt{\tau}\hat{d}$

Полезно посмотреть на эту проблему в картине Гейзенберга, где действие светоделителя полностью сводится к операторам создания и уничтожения мод с начальным состоянием поля, предполагаемым как вакуум.

Поскольку рассматриваемые входные состояния являются состояниями Фока$|m\rangle_{a}$и$|n\rangle_{b}$полное начальное состояние поля можно альтернативно записать как:

${(a^{\dagger})^m(b^{\dagger})^n |0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}}$

Теперь подставим прежние выражения для$\hat{a}$и$\hat{b}$с точки зрения$\hat{c}$и$\hat{d}$задается светоделительными преобразованиями. Состояние поля после преобразований мод:

$(\sqrt{\tau}\hat{c}^{\dagger}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}^{\dagger})^m(\sqrt{1-\tau}\hat{c}^{\dagger}-\sqrt{\tau}\hat{d}^{\dagger})^n|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

Таким образом, были получены выходные состояния для светоделительного преобразования на входных фоковских состояниях.

Как правильно заметил Питер Шор, прекрасным следствием этих преобразований является эффект Хонга-У-Манделя. В нем говорится, что когда однофотонные состояния одновременно попадают на входные порты светоделителя, оба фотона выходят из одного и того же выходного порта.

В этом легко убедиться из уравнения, которое мы получили, положив$m=n=1$. Также для удобства положим$\tau=0.5$т.е. светоделитель$50:50$соотношение. Состояние выходного поля:

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}+\hat{d}^{\dagger})\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}-\hat{d}^{\dagger})|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{2}\big((\hat{c}^{\dagger})^2-(\hat{d}^{\dagger})^2\big)|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(|2\rangle_{c}|0\rangle_{d}-|0\rangle_{c}|2\rangle_{d})$

Таким образом, мы ясно видим, что либо оба фотона выходят из порта$C$или оба выходят из порта$D$. Такое состояние называется двухфотонным ПОЛДЕНЬ (состояние выглядит так, когда N=2), и этот эффект имеет первостепенное значение в схемах линейных оптических квантовых вычислений.