Выражение B⃗ B→\vec{B} и E⃗ E→\vec{E} в компонентах тензора

Электрические и магнитные поля$\vec{E}$и$\vec{B}$можно рассматривать как компоненты антисимметричного тензора ранга 2 (2-форма), называемого тензором электромагнитного поля и обычно обозначаемого$F$. Определим тензор электромагнитного поля через внешнюю производную одного вида:$F=dA$. По компонентам это:$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$для пространства-времени Минковского. Тогда электрическое поле в декартовых координатах можно выразить как$E_i = cF_{0i}$(соглашение здесь состоит в том, что латинские буквы идут по индексам, подобным пространству, а греческие буквы идут по всем 4 индексам пространства-времени), а магнитное поле равно$B_i=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{jk}$и$\epsilon_{ijk}$является (единственным с точностью до хиральности) полностью антисимметричным тензором ранга 3.

Лагранжиан для свободного классического электромагнитного поля равен

Утверждение состоит в том, что эти два соотношения порождают бесплатные уравнения Максвелла, которые вы разместили в ОП, без наличия источников (если вы хотите источник, пара$A_{\mu}$к$j^{\mu}$и добавьте термин в$\mathcal L$). Фактор$-1/4$на уровне лагранжиана обеспечивает правильную нормировку уравнений ОП. Вышеприведенное представляет собой ковариантную форму уравнений Максвелла, но я вижу, что, прочитав свой вопрос еще раз, вы хотели вывести компоненты$\mathbf E$и$\mathbf B$из уравнений Максвелла.

Из I и III Максвелла вы видите, что можете написать

Из этих соотношений вы можете получить явную матрицу полей E и B:

Специальная теория относительности основана на двух постулатах: (i) законы физики имеют одинаковую математическую структуру во всех инерциальных системах отсчета; и (ii) измеренная скорость света в вакууме равна$c$во всех инерциальных системах отсчета. Эти два постулата лежат в основе нашего наилучшего описания пространства-времени во всех случаях, когда гравитацией можно пренебречь.

Уравнения Максвелла, естественно, согласуются с вышеизложенными постулатами, но это не очевидно на первый взгляд, когда они записаны в векторной форме (на самом деле, 3d-векторы или 3-векторы). Это так, потому что 3-векторы не ведут себя должным образом при преобразованиях координат, которые связывают различные инерциальные системы отсчета в специальной теории относительности, так называемых преобразованиях Лоренца . С другой стороны, четырехкомпонентные векторы или просто 4-векторы хорошо ведут себя при преобразованиях Лоренца. 4-вектор$\mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3)$трансформируется как$\mathbf{a}^\prime=\Lambda\, \mathbf{a}$, где

- матрица преобразования Лоренца, которая связывает две инерциальные системы отсчета с относительной скоростью$v$вдоль$x$ось, и где мы написали 4-векторы$\mathbf{a}^\prime$и$\mathbf{a}$как столбец$1\times 4$матрицы для простоты записи. Закон преобразования для$\mathbf{a}$можно записать в индексной нотации как

где$a^\mu$это$\mu$-я компонента 4-вектора$\mathbf{a}$и$\Lambda^\mu{}_\nu$элемент матрицы преобразования Лоренца$\Lambda$в$\mu$-я строка и$\nu$-й столбец.

В нашем случае важными примерами 4-вектора являются оператор производной$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3} \right) \equiv \left( \frac{\partial}{c\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$, 4-ток$J^\mu=(J^0,J^1,J^2,J^3)\equiv(c\rho,J_x,J_y,J_z)$, а 4-потенциал$A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3) \equiv \left(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)$. Эти определения очень естественны, если вы заметите, что преобразование Лоренца на 4-векторах смешивает одну «временную» и три пространственные компоненты, поэтому при построении 4-вектора мы ищем одну величину для входа во «временной слот» и три для «временного слота». пространственные щели».

Идем дальше, поля$\vec{E}$и$\vec{B}$ясно, что каждый из них не может быть частью 4-вектора, потому что каждый имеет 3 компонента, а один 4-вектор имеет 4 (слишком много). 4-вектор можно рассматривать как столбец$1\times 4$матрица, поэтому следующая математическая структура, которую мы могли бы попробовать, это$4\times 4$матрица (тензор второго ранга), но имеет 16 компонент. С другой стороны, антисимметричный $4\times 4$матрица имеет ровно 6 линейно независимых элементов. Если мы назовем такую ​​матрицу$F$, затем$F^\text{T}=-F$или, в индексной записи,$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}.$Такая матрица хорошо преобразуется при преобразовании Лоренца:

Таким образом, он естественным образом видит компоненты$\vec{E}$и$\vec{B}$будет составлять такую ​​матрицу. Но как именно? Первый постулат специальной теории относительности требует, чтобы уравнения Максвелла имели одинаковую структуру во всех системах отсчета, и они обладают этим свойством, но чтобы сделать это очевидным, нам нужно переписать их в терминах 4-векторов и тензоров второго ранга ($4\times 4$матрицы) или что-то еще, что правильно преобразуется при преобразованиях Лоренца ( например , тензоры более высокого ранга). Попробуем сделать это, сначала заметив закон Гаусса,

можно получить из матричного уравнения

Производная линейная матрица (4-вектор), умноженная на первый столбец$4\times 4$матрица (тензор второго ранга) равна первому элементу линейной матрицы в левой части равенства (которое будет идентифицировано как часть 4-потока), и это действительно дает закон Гаусса. Это последнее уравнение показывает, каково расположение компонентов$\vec{E}$в матрице$F$(что до сих пор до конца не известно). Антисимметрия$F$накладывает исчезающую диагональ и компоненты$\vec{E}$написано на его первой строке выше.

Давайте посмотрим на закон Ампера-Максвелла:

Его$x$компонент

и можно получить от

Когда производная матрица действует на второй столбец матрицы$4\times 4$матрица равна второму элементу линейной матрицы в левой части равенства, что дает$x$часть закона Ампера-Максвелла. Который раскрывает местонахождение$B_y$и$B_z$в$F$. Уведомление$\rho$теперь идет с коэффициентом$\mu_o c$, вместо предыдущего$1/\varepsilon_0$, и причина в том, чтобы компенсировать компоненты$\vec{E}$которые теперь разделены на$c$(помнить$\mu_0 \varepsilon_0=1/c^2$). С аналогичными процедурами для$y$и$z$компонентов, мы заключаем, что законы Гаусса и Ампера-Максвелла на самом деле могут быть записаны в виде одного матричного уравнения:

Окончательно отождествим матрицу электромагнитного поля$F$быть транспонированием вышеперечисленного$4\times 4$матрица,

Его элементы$F^{\mu\nu}$являются$F^{01}=E_x/c$,$F^{02}=E_y/c$,$F^{03}=E_z/c$,$F^{12}=B_z$,$F^{13}=-B_y$, и$F^{23}=B_x$. Остальные элементы получаются из его антисимметрии$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$.

Наконец, матричное уравнение, охватывающее уравнения Гаусса и Ампера-Максвелла, может быть записано в виде индекса как$\partial_\nu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\mu.$Поскольку это записано исключительно в терминах 4-векторов и тензоров второго ранга, в другой инерциальной системе отсчета это записывается как$\partial^\prime_\nu F^\prime{}^{\mu\nu} = \mu_0 J^\prime{}^\mu$. Таким образом, первый постулат специальной теории относительности, очевидно, выполняется.

Мы можем определить двойственную электромагнитную матрицу$G$путем замены$\vec{E}$к$\vec{B}$, и$\vec{B}$к$-\vec{E}/c$в матрице$F$. Это определение приводит к двум другим уравнениям Максвелла:$\nabla \cdot \vec{B} = 0$и$\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t,$когда мы проверяем компоненты$\partial_\nu G^{\mu\nu} = 0.$

Второй постулат специальной теории относительности естественным образом удовлетворяется и электродинамикой. В вакууме,$\vec{E}$и$\vec{B}$удовлетворяет волновому уравнению,$\square \vec{E}=0$и$\square \vec{E}=0$, где$\square\equiv\frac{1}{c^2}-\nabla^2$. С точки зрения$F$, у нас есть$\square F^{\mu\nu}$. Потому что$\square=\square^\prime$, электромагнитные волны распространяются со скоростью$c$во всех инерциальных системах отсчета.

Наконец, как только мы узнаем, что такое элементы$F^{\mu\nu}$из$F$, несложно проверить, что элементы$F^{\mu\nu}$относится к компонентам$A^\mu$4-потенциала$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, который как раз и дает связь между полями и потенциалами,$\vec{E}=-\nabla \phi -\partial \vec{A}/\partial t$и$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}.$