Такого рода вычисления, особенно когда скорость электронов с точки зрения наблюдателя близка к$c$, должно быть сделано с использованием специальной теории относительности в том смысле, что преобразование между системами отсчета определяется преобразованиями Лоренца, а не преобразованиями Галилея.

Как вы упомянули, вы можете поместить начало системы отсчета в одну из позиций электрона (хотя для реальных расчетов может быть проще перейти в систему центра масс, чтобы использовать симметрию ситуации). В этой системе отсчета оба электрона покоятся в начальном состоянии, и, следовательно, присутствует только электростатический потенциал и, следовательно, нет магнитного поля. Следовательно, в выбранной системе покоя электроны будут отталкиваться друг от друга, что приведет к расхождению их положений.

Теперь с точки зрения другой системы отсчета, например наблюдателя в лаборатории, с точки зрения которого электроны имеют скорость$.99c$в сказать$x$-направление, как вы упомянули в своем описании, действительно присутствует магнитное поле. Следуя специальной теории относительности, вы записываете текущее поле в системе покоя электронов (используя четырехвекторное описание электромагнитного потенциала) и используете соответствующее преобразование Лоренца, чтобы получить электромагнитный потенциал в системе отсчета наблюдателя. Преобразование Лоренца смешает электрический и магнитный потенциал, что приведет к интерпретации, что магнитное поле - это электрическое поле в другой системе отсчета, хотя было бы точнее сформулировать это, используя векторный потенциал$A$как физическое лицо.

Я надеюсь, что это проясняет все остальные вопросы, которые вы задавали, так как они действительно зависят от выбранной системы отсчета и их можно легко выяснить, разобравшись с ситуацией в системе покоя электрона.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Обратите внимание, что я обсуждаю только начальную ситуацию, т.е. я пренебрегаю тем, что электроны будут расходиться, что приведет к относительной скорости и, следовательно, к магнитному полю, присутствующему в системе отсчета одного из электронов. Но я думаю, что ваш вопрос касался исходной ситуации, когда электроны покоятся друг относительно друга, и того факта, что они «движутся с точки зрения наблюдателя».

Преобразования Лоренца

Предположим, мы называем лабораторную систему отсчета К-системой, а систему отсчета, движущуюся со скоростью,$\mathbf{v}$, относительно K-кадра, называемого K'-кадром. Тогда мы можем выразить электромагнитные поля в K'-системе отсчета через поля K-системы как:

1) какова реальная стоимость...?

The $k$фактор в этой статье$\left( 4 \pi \varepsilon_{o} \right)^{-1} = 8.987552 \times 10^{9} \ m/F$, куда$\varepsilon_{o}$есть диэлектрическая проницаемость свободного пространства . $q^{2}$значение - это просто квадрат элементарного заряда =$2.56697 \times 10^{-38} \ C^{2}$. Следовательно,$k \ q^{2} = 2.307078 \times 10^{-28} \ V \ m \ C$а теперь если разделить на$1 \ cm = 10^{-2} \ m^{-1}$в квадрате, тогда$F_{E} = 2.307078 \times 10^{-24} \ N$.

Факторы в$F_{B}$,$\mu_{o} \ q/4 \pi$, имеет величину$1.602218 \times 10^{-26} \ N \ s^{2} \ C^{-1}$, куда$\mu_{o}$есть проницаемость свободного пространства .

Интуитивно он не должен быть меньше, но и не может быть больше 1, не так ли?

Величина$F_{B} = 4.7552 \times 10^{-14} \ N$, что примерно$10^{10}$раз превышает величину$F_{E}$.

Я не уверен, почему вы думаете, что магнитная сила не может превышать электрическую, но это зависит от ситуации.

2) что происходит с траекториями частиц из-за влияния взаимного магнитного поля (силы Лоренца), сходятся ли они?

Это зависит от ситуации. В вашем конкретном примере вы должны понимать, что солнечный ветер всегда пронизан фоновым магнитным полем и что частицы обычно следуют за магнитным полем .

3) их пути также должны расходиться, так как отталкивание (сила Кулона) несколько сильнее притяжения (Био-Савара)? Каков результат взаимодействия всех этих сил, что происходит с частицами? Я попытался сделать график. Это правильно? какие конечные значения?

Поэтому заряженные частицы почти никогда не бывают изолированными. В солнечном ветре (и почти во всей плазме во Вселенной) электростатические поля частиц экранируются противоположно заряженными частицами на среднем расстоянии, называемом длиной Дебая . Поэтому, к сожалению, эти две частицы не могут действовать как две независимые частицы. На самом деле они, скорее всего, будут действовать как часть распределения скоростей и будут демонстрировать коллективное поведение, больше похожее на поведение жидкости, чем просто двух отдельных частиц.

4) почему магнитное поле производит притяжение?

Это похоже на задачу о двух параллельных проводах с током. $\mathbf{j} \times \mathbf{B}$-сила (связанная с эффектом Холла ) тока от провода 1 под действием магнитного поля от провода 2 создаст силу на проводе 1, направленную в сторону провода 2. То же самое верно для провода 2 из-за влияния провода . Таким образом, можно сказать, что два провода притягиваются друг к другу.

5) последнее, но самое главное, я читал, что магнитная сила интерпретируется теорией относительности как электрическое поле в другой системе отсчета, верно? Но здесь два электрона находятся в одной системе отсчета, и в этой системе они не движутся (кроме небольшого расхождения) и не должны ощущать никакой магнитной силы.

См. уравнения 1a и 1b выше...

6) как отталкивающая сила может перейти в притягивающую в другой системе отсчета?

Сила не является инвариантом Лоренца . Это означает, что направление и величина силы могут меняться в другой системе отсчета. Силы подчиняются тому, что называется преобразованиями Лоренца . Таким образом, силы могут проявляться по-разному в разных системах отсчета.

может ли наблюдатель C, движущийся с ЦМ, сделать вывод, что все они (A, B, C) движутся, даже если они не осознают этого, и даже узнать реальную скорость, с которой они движутся, просто наблюдая, что значение отталкивания отличается от предсказанного Кулоном?

Нет, движение — это не то, что вы можете вывести. Представьте, что вы едете в машине, поезде или самолете с постоянной скоростью. Не выглядывая в окно, нельзя было определить, что ты двигаешься. Вы можете измерять электрические и магнитные поля в системе отсчета детектора. Без измерения в другой системе отсчета можно обсуждать только измерение в системе измерения. Вы можете применить преобразование Лоренца к этим измерениям, чтобы сделать вывод о том, что вы должны наблюдать в любой данной системе отсчета, но вы не можете определить, что вы движетесь, основываясь только на измерениях электрического и магнитного поля.

Пример разворота

Для простоты воспользуемся нерелятивистским пределом (т.е.$\gamma \rightarrow 1$) и предположим:

Выполняя преобразования Лоренца и добавляя скорости , мы можем показать, что соответствующие 3-векторы в K'-системе таковы:

Тогда, чтобы изменить знак$\hat{\mathbf{y}}$-компонент уравнения 2b,$\hat{\mathbf{y}}$-компонент уравнения 3b должен удовлетворять:

Так что, в принципе, знак компонента трехвекторной силы может измениться на противоположный.

Несколько комментариев перед расчетом:

• В системе КМ имеется только сила притяжения, а в данной системе есть и сила притяжения, и сила отталкивания. Это не более загадочно, чем тот факт, что вертикальный объект в моем кадре может казаться наклоненным кому-то с повернутыми осями. Переход от системы CM к вашей системе точно таким же образом смешивает электрическое поле с магнитным полем.
• Учитывая вышесказанное, почему вы не можете обнаружить абсолютное движение, просто измерив, есть ли магнитное поле или нет? Вы не можете . Вы можете измерить только силу Лоренца, которая имеет как электрический, так и магнитный вклад; подробнее см . здесь .
• Несмотря на то, что наличие электрического или магнитного поля зависит от системы отсчета, вы правы в том, что траектории частиц не зависят друг от друга: если они в конце концов столкнутся друг с другом в одном кадре, им лучше сделать то же самое в другом кадре.

Сначала сделаем расчет в кадре CM. Пусть$x$а также$y$оси должны быть горизонтальными и вертикальными, как на ваших картинках, и пусть объекты имеют массу$m$и заряжать$q$. затем

Теперь давайте проделаем тот же расчет в заданном вами кадре. При сокращении длины электрическое поле увеличивается в$\gamma$, так

Кстати, если вы посмотрите на наши вычисления$a'_y$, вы можете видеть, что отношение$F_B/F_E$точно$v^2/c^2$, для любого$v$, который отвечает на ваш первый вопрос. Но обе эти величины возрастают с$v$, так что сумма остается прежней.

Наблюдатель, движущийся вместе с ЦМ, измерит, что сила отталкивания электронов определяется выражением$F=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$($d$их разделение), он может производить измерения только в своей системе отсчета (то есть движущейся со скоростью$v$), и не сможет определить эту скорость.

Принцип относительности гласит, что не существует эксперимента, который мог бы определить абсолютное движение. Таким образом, все наблюдатели, независимо от относительного движения, должны согласиться с результатом любого эксперимента. Из-за относительности измерительных устройств наблюдателей они могут численно не совпадать с измерениями. Применяя законы относительности, они смогут сделать вывод о том, какие измерения производят друг друга, и придут к общему мнению о результатах, таких как «частицы взаимно отталкиваются».

Я бы проверил главу 12 из книги Гриффитса по электродинамике для студентов. Это хорошее введение в совместное использование SR и EM.

Сопутствующий наблюдатель

Наблюдатель, покоящийся относительно электронов, движется с той же скоростью и в том же направлении, что и электроны. В этой сопутствующей системе отсчета электроны создают только электрические поля. Магнитного поля нет. Сила между двумя электронами определяется их кулоновским взаимодействием. Заряды отталкиваются, и результирующая сила на каждом из них равна

Стационарный наблюдатель

Неподвижный наблюдатель видит, как два электрона движутся со скоростью$v$, относительно самого себя. Назовем направление движения$\hat{x}$направление. Этот наблюдатель скажет, что движущиеся заряды создают как электрическое, так и магнитное поля. Этот наблюдатель движется относительно зарядов источника, поэтому электрическое поле в этой системе отсчета изменяется.

Один из способов думать об этом состоит в том, что линии электрического поля, которые перпендикулярны движению ($\hat{y}$или же$\hat{z}$компоненты) будут сжаты лоренцевым сокращением. Это делает кулоновскую силу, измеренную неподвижным наблюдателем, больше, чем силу, измеренную движущимся вместе с ней.

Неподвижный наблюдатель увидит, что электрическое поле одного в месте расположения другого равно

Неподвижный наблюдатель также увидит магнитное поле, создаваемое каждым электроном из-за его движения. $B$- напряженность поля одного в месте расположения другого

Мы можем рассчитать силу Лоренца с релятивистской поправкой:

Таким образом, результирующая сила в неподвижной раме равна:

Две частицы будут удаляться друг от друга с одинаковой скоростью в обоих. Таким образом, вы не можете различить абсолютное движение, наблюдая за скоростью разделения двух зарядов.